Mathematik 2, Telekommunikation und Informatik, HTW Chur, Thomas Borer, 2004/05

Lernziele

Allgemein

• bekannte und neue Sachverhalte analysieren und beurteilen können.
• selbstständig und in Gruppen Problemstellungen analysieren, lösen und beurteilen können.
• durch das Studium eines Textes neue Sachverhalte erarbeiten können.
• Lösungswege übersichtlich, vollständig und verständlich dokumentieren können.
• einfachere Integrale von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle lösen können.
• mit dem Computerprogramm MAPLE ein File erstellen können, das vorgegebene Anforderungen erfüllt.

Grundlagen

• wissen, wie die Menge der komplexen Zahlen definiert ist.
• die Begriffe "imaginäre Einheit", "imaginäre Zahl", "Realteil", "Imaginärteil", "Betrag", "Argument", "Gauss'sche Zahlenebene", "kartesische Form", "Polarform", "Exponentialform" kennen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• den Realteil, Imaginärteil, Betrag, das Argument einer komplexen Zahl bestimmen können.
• die verschiedenen Darstellungsarten einer komplexen Zahl kennen.
• eine komplexe Zahl von der einen Darstellungsform in eine andere umwandeln können.
• die Grundoperationen sowie das Potenzieren in der Menge der komplexen Zahlen korrekt ausführen können.
• die Euler'sche Formel auswendig kennen.
• wissen, wie die komplexe Konjugation definiert ist.
• eine komplexe Zahl komplex konjugieren können.
• wissen, wie eine komplexe Exponentialfunktion definiert ist.
• Grundoperationen bei einer komplexen Exponentialfunktion korrekt ausführen können.
• verstehen, was kontinuierliche, diskrete, analoge, abgetastete, quantisierte und digitale Signale sind.
• verstehen, was eine Periode, die Grundperiode einer Funktion ist.
• die Grundperiode einer Sinus- bzw. Cosinus-Funktion kennen.
• beurteilen können, ob eine Funktion periodisch ist oder nicht.
• die Grundperiode einer Funktion bestimmen können.
• verstehen, was eine gerade, eine ungerade Funktion ist.
• beurteilen können, ob eine Funktion gerade, ungerade oder weder gerade noch ungerade ist.
• den geraden bzw. den ungeraden Anteil einer Funktion bestimmen können.

Fourier-Reihen (FR)

• verstehen, warum es sinnvoll sein kann, eine Funktion als Linearkombination von geeigneten Basisfunktionen darzustellen.
• verstehen, warum es sinnvoll ist, ein periodisches Signal, welches durch ein LTI-System läuft, als Linearkombination von sinusförmigen Teilsignalen darzustellen.
• wissen, wie die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion definiert ist.
• verstehen, was die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion sind.
• verstehen, wie man die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion bestimmt.
• verstehen, wie eine periodische Funktion mit Hilfe der Fourier-Reihen-Darstellung in Grundschwingung und Oberschwingungen aufgeteilt wird.
• verstehen, wie sich die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion aus den einzelnen Fourier-Komponenten zusammensetzt.
• die reellen Fourier-Koeffizienten einer einfacheren periodischen Funktion von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
• die endliche reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion als Näherung der Funktion verstehen.
• die Analogie zwischen der Fourier-Reihen-Entwicklung und der Taylor-Reihen-Entwicklung einer Funktion verstehen.
• das Verhalten der Fourier-Reihe einer periodischen Funktion an einer Unstetigkeitsstelle der Funktion kennen.
• mit Hilfe des Computerprogrammes MAPLE die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion bestimmen können.
• verstehen, dass der konstante Anteil in der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion der zeitliche Mittelwert der Funktion über eine Grundperiode ist.
• verstehen, dass sich in der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion nur der konstante Anteil ändert, wenn man die Funktion mit einer Konstanten addiert.
• angeben können, wie sich der konstante Anteil der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion ändert, wenn der Graf der Funktion vertikal verschoben wird.
• aus dem Grafen einer einfacheren periodischen Funktion den konstanten Anteil der reellen Fourier-Reihe herauslesen können.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer geraden periodischen Funktion eine reine Cosinus-Reihe ist.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer ungeraden periodischen Funktion eine reine Sinus-Reihe ohne konstanten Anteil ist.
• ohne Berechnung von Integralen Aussagen über die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion mit speziellen Symmetrieeigenschaften machen können.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer konstanten Funktion weder Cosinus- noch Sinus-Glieder enthält sondern lediglich einen konstanten Anteil.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer reinen Cosinus-Funktion ein einziges Cosinus-Glied enthält.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer reinen Sinus-Funktion ein einziges Sinus-Glied enthält.
• ohne Berechnung von Integralen die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion bestimmen können, die sich aus trigonometrischen Teilfunktionen zusammensetzt.
• beurteilen können, wie sich die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion verändern, wenn man die Funktion skaliert.
• die Sinus-/Cosinus- und die Betrags-/Phasen-Darstellung der reellen Fourier-Reihe kennen.
• die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion von der Sinus-/Cosinus-Darstellung in die Betrags-/Phasen-Darstellung umformen können.
• verstehen, inwiefern sich bei einer zeitlichen Verschiebung einer periodischen Funktion deren reelle Fourier-Koeffizienten in der Betrags-/Phasen-Darstellung verändern.
• den Zusammenhang zwischen der komplexen und der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion verstehen.
• die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion in die komplexe Fourier-Reihe umformen können und umgekehrt.
• die grundlegende Symmetrieeigenschaft der komplexen Fourier-Koeffizienten einer reellen periodischen Funktion kennen und verstehen.
• die komplexe Fourier-Reihe einer Funktion, die aus einer Linearkombination trigonometrischer Funktionen besteht, direkt bestimmen können.
• das Spektrum einer periodischen Funktion als Balkendiagramm grafisch darstellen können.
• die Bedeutung der einzelnen Summanden in der reellen und in der komplexen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion verstehen.
• beurteilen können, wie sich die komplexen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion verändern, wenn man die Funktion skaliert.
• verstehen, was die Parseval'sche Beziehung aussagt.
• mit Hilfe der Parseval'schen Beziehung mittlere Leistungen von einzelnen Fourier-Komponenten eines periodischen Signals bestimmen können.

Fourier-Transformation (FT)

• wissen, wie die Fourier-Transformierte einer aperiodischen Funktion definiert ist.
• das Fourier-Integral einer aperiodischen Funktion als Grenzwert der Fourier-Reihe einer periodischen Funktion mit unendlich gross werdender Grundperiode verstehen.
• die Analogie zwischen dem Fourier-Integral einer aperiodischen Funktion und der Fourier-Reihe einer periodischen Funktion sowie zwischen der Fourier-Transformierten einer aperiodischen Funktion und den Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion verstehen.
• die Fourier-Transformierte einer einfacheren aperiodischen Funktion von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
• mit Hilfe des Computerprogrammes MAPLE die Fourier-Transformierte einer aperiodischen Funktion bestimmen können.
• verstehen, was die Parseval'sche Beziehung aussagt.
• die physikalische Bedeutung der Fourier-Transformierten verstehen.
• verstehen, dass die Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion Abtastwerte der Fourier-Transformierten einer Grundperiode der Funktion sind.
• verstehen, wie die Dirac'sche Delta-"Funktion" definiert ist.
• die Ausblendeigenschaft des Diracstosses verstehen.
• die Beziehungen zwischen der Sprungfunktion und dem Diracstoss kennen.
• Integrale bestimmen können, in welchen die Dirac'sche Delta-"Funktion" als Faktor des Integranden auftritt.
• die Fourier-Transformierte des Diracstosses auswendig kennen.
• verstehen, dass die Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion im Rahmen der üblichen Funktionentheorie (ohne Dirac'sche Delta-"Funktion") nicht existiert.
• verstehen, dass man mit Hilfe der Dirac'schen Delta-"Funktion" eine Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion angeben kann.
• die Fourier-Transformierte einer einfacheren periodischen Funktion von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
• die Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion grafisch darstellen können.
• die Fourier-Transformation und die Fourier-Rücktransformation als Abbildungen zwischen zwei Funktionenräumen verstehen.
• wissen und verstehen, dass die Fourier-Transformation linear ist.
• die grundlegende Symmetrieeigenschaft der Fourier-Transformierten einer reellen Funktion kennen und verstehen.
• wissen und verstehen, dass der Betrag der Fourier-Transformierten einer reellen Funktion gerade ist.
• wissen und verstehen, dass das Argument der Fourier-Transformierten einer reellen Funktion ungerade ist.
• die Zeitverschiebungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
• die Zeitskalierungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
• grafisch beurteilen können, wie sich eine Zeitskalierung bei einer Funktion auf deren Fourier-Transformierte auswirkt.
• die Zeitverschiebungs-, die Zeitskalierungs- und die Linearitäts-Eigenschaft der Fourier-Transformation bei der Bestimmung der Fourier-Transformierten anwenden können.
• verstehen, was ein LTI-System ist.
• eine Funktion als Näherung einer Summe von Rechtecksimpulsen verstehen.
• wissen, wie die Faltung zweier Funktionen definiert ist.
• verstehen, dass eine Funktion gleich seiner Faltung mit einem Diracstoss ist.
• wissen, dass die Faltung das Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz erfüllt.
• sich das Faltungsintegral zweier Funktionen grafisch vorstellen können.
• die Faltung zweier einfacher Funktionen grafisch ausführen können.
• wissen, was die Stossantwort eines LTI-Systems ist.
• verstehen, dass der Output eines LTI-Systems gleich der Faltung des Inputs mit der Stossantwort ist.
• die Faltungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen, verstehen und anwenden können.
• verstehen, warum die Fourier-Transformierte der Stossantwort eines LTI-Systems als Frequenzgang bezeichnet wird.
• verstehen, dass die Reihenfolge zweier oder mehrerer hintereinander geschalteter LTI-Systeme vertauscht werden kann.
• verstehen, dass ein komplexes exponentielles Signal eine Eigenfunktion eines LTI-Systems ist.
• verstehen, dass ein LTI-System mit reeller Stossantwort einen sinusförmigen Input in einen sinusförmigen Output mit derselben Frequenz überführt.
• bei einem LTI-System mit bekanntem Frequenzgang den Output zu einem sinusförmigen Input bestimmen können.
• verstehen, dass ein RC-Glied ein Tiefpassfilter ist.
• die Modulations-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
• das Spektrum eines modulierten Signals mit Hilfe der Modulations-Eigenschaft der Fourier-Transformation bestimmen können.
• verstehen, wie sich das Modulieren eines Signals mit einem periodischen Signal im Spektrum auswirkt.
• Spektren modulierter Signale ohne Berechnung grafisch skizzieren können.

Fourier-Transformation für Abtastsignale (FTA)

• verstehen, was kontinuierliche, diskrete, analoge, abgetastete, quantisierte und digitale Signale sind.
• wissen, wie die ideale Abtastung einer zeitkontinuierlichen Funktion definiert ist.
• die Begriffe "Abtastperiode" und "Abtadtfrequenz" kennen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• einige grundlegende Unterschiede zwischen zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Funktionen kennen.
• aus der Angabe einer zeitkontinuierlichen Funktion und einer Abtastperiode die dazugehörige zeitdiskrete Funktion bestimmen können und umgekehrt.
• zeitdiskrete Funktionen grafisch darstellen können.
• verstehen, dass die Abtastung einer zeitkontinuierlichen Funktion mit verschiedenen Abtastperioden zu identischen zeitdiskreten Funktionen führen kann.
• wissen, wie die Fourier-Transformation für Abtastsignale (FTA) definiert ist.
• den Zusammenhang zwischen der Fourier-Transformation (FT) und der FTA verstehen.
• verstehen, dass das Spektrum einer abgetasteten Funktion periodisch ist.
• verstehen, wie die Grundperiode des Spektrums einer abgetasteten Funktion von der Abtastperiode abhängt.
• den Zusammenhang zwischen dem Spektrum einer abgetasteten Funktion und dem Spektrum der ursprünglichen, unabgetasteten Funktion verstehen.
• die Fourier-Transformierte einer einfacheren zeitdiskreten Funktion von Hand bestimmen können.
• das Abtasttheorem von Shannon kennen und verstehen.
• verstehen, dass bei nicht-erfülltem Abtasttheorem die ursprüngliche zeitkontinuierliche Funktion aus der abgetasteten Funktion nicht mehr rekonstruiert werden kann.
• verstehen, dass verschiedene Funktionen bei gleicher Abtastperiode auf gleiche Abtastfunktionen führen können.
• verstehen, was ein LTD-System ist.
• verstehen, dass eine diskrete Funktion als Summe gewichteter Impulse geschrieben werden kann.
• wissen, wie die diskrete lineare Faltung zweier diskreter Funktionen definiert ist.
• wissen, was die Impulsantwort eines LTD-Systems ist.
• verstehen, dass der Output eines LTD-Systems gleich der diskreten linearen Faltung des Inputs mit der Impulsantwort ist.
• die diskrete lineare Faltung zweier zeitdiskreter Funktionen sowohl analytisch als auch grafisch bestimmen können.

Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

• verstehen, dass eine Funktion sowohl durch Aufaddieren zeitverschobener Versionen der Funktion als auch durch Faltung mit einer Deltafolge periodisch fortgesetzt werden kann.
• verstehen, dass die komplexen Fourier-Koeffizienten einer periodisch fortgesetzten Funktion Abtastwerte der Fourier-Transformierten der ursprünglichen Funktion sind.
• die komplexen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion bestimmen können, welche durch periodisches Fortsetzen einer aperiodischen Funktion gebildet wurde.
• wissen und verstehen, wie die diskrete Fourier-Transformation definiert ist.
• wissen und verstehen, wieviel Information in der diskreten Fourier-Transformierten einer zeitdiskreten Funktion enthalten ist.
• den Zusammenhang zwischen der diskreten Fourier-Transformierten einer zeitdiskreten Funktion und den Fourier-Koeffizienten der dazugehörigen periodisch fortgesetzten Abtastfunktion verstehen.
• verstehen, wie weit die diskrete Fourier-Transformierte einer zeitdiskreten Funktion den Fourier-Koeffizienten einer periodischen, zeitkontinuierlichen Funktion entsprechen.
• verstehen, was die Parseval'sche Beziehung aussagt.
• den Einfluss der Fensterlänge und der Abtastperiode auf die diskrete Fourier-Transformierte einer zeitdiskreten Funktion verstehen.
• wissen, dass der Rechenaufwand beim Berechnen der diskreten Fourier-Transformierten mit dem Algorithmus der schnellen Fourier-Transformation (FFT) wesentlich verringert werden kann.
• den FFT-Algorithmus von Cooley und Tukey zur Bestimmung der diskreten Fourier-Transformierten eines zeitdiskreten Signals verstehen.
• das Signalflussdiagramm lesen können, welches den FFT-Butterfly-Algorithmus von Cooley und Tukey grafisch darstellt.

z-Transformation (ZT)

• wissen, wie die z-Transformation definiert ist.
• die z-Transformation als Abbildung zwischen zwei Funktionenräumen verstehen.
• den Zusammenhang zwischen der z-Transformation und der Fourier-Transformation für Abtastsignale kennen und verstehen.
• Eigenschaften des Konvergenzbereiches der z-Transformation kennen und verstehen.
• die z-Transformierte einer einfacheren zeitdiskreten Funktion von Hand bestimmen können.
• verstehen, dass die z-Transformation eine lineare Abbildung ist.
• die Zeitverschiebungs- und die Faltungseigenschaft der z-Transformation kennen, verstehen und bei der Bestimmung der z-Transformierten anwenden können.
• mit Hilfe einer z-Transformations-Tabelle und der Methode "Partialbruchzerlegung" aus der z-Transformierten einer Funktion deren inverse z-Transformierte bestimmen können.
• wissen, was die Übertragungsfunktion eines LTD-Systems ist.
• verstehen, was eine Differenzengleichung ist.
• wissen, dass ein LTD-System mit einer Differenzengleichung beschrieben werden kann, die den Input und den Output verknüpft.
• an Hand eines konkreten Beispiels verstehen, wie eine zu einem LTD-System gehörige Differenzengleichung hergeleitet wird.
• bei einem LTD-System den Zusammenhang zwischen der Differenzengleichung, welche den Input und den Output verknüpft, und der Übertragungsfunktion verstehen.
• aus der Differenzengleichung eines LTD-Systems die dazugehörige Übertragungsfunktion herleiten können.
• aus der Übertragungsfunktion eines LTD-Systems die dazugehörige Differenzengleichung herleiten können.
• eine Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten rekursiv lösen können.
• die Definitionen von Kausalität und Stabilität eines LTD-Systems kennen.
• die Zusammenhänge zwischen den Polen der Übertragungsfunktion eines LTD-Systems und der Kausalität bzw. Stabilität des Systems kennen und bei der Analyse eines LTD-Systems anwenden können.
• den Output eines LTD-Systems bei bekanntem Input und bekannter Übertragungsfunktion bestimmen können.
• verstehen, was man unter der Diskretisierung eines LTI-Systems versteht.
• wissen, dass es verschiedene Diskretisierungsmethoden gibt.
• ein zeitkontinuierliches LTI-System mit Hilfe der Methoden Impulsinvarianz und Näherung der Differentialgleichung durch eine Differenzengleichung diskretisieren können.
• beurteilen können, ob ein Eingangs-Ausgangs-Signalpaar eines bestimmten LTI-Systems nach der Diskretisierung der beiden Signale und des Systems immer noch ein Eingangs-Ausgangs-Signalpaar bilden.

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