Mathematik 2, Telekommunikation und Informatik, Thomas Borer, HTW Chur, 2001/02

Lernziele

Allgemein

• selbstständig und in Gruppen Problemstellungen analysieren, lösen und beurteilen können.
• durch das Studium eines Textes neue Sachverhalte erarbeiten können.
• neue Sachverhalte analysieren können.
• Lösungswege übersichtlich, vollständig und verständlich dokumentieren können.
• einfachere Integrale von Hand und mit Hilfe von Integraltafeln lösen können.
• mit dem Computerprogramm MAPLE ein File erstellen können, das vorgegebene Anforderungen erfüllt.
• einfachere Aussagen und Beziehungen beweisen können.
• eine im Unterricht bewiesene Aussage an einem konkreten Beispiel nachprüfen können.

Mathematische Grundlagen

• wissen, wie die Menge der komplexen Zahlen definiert ist.
• die Begriffe "imaginäre Einheit", "imaginäre Zahl", "Realteil", "Imaginärteil", "Betrag", "Argument", "Gauss'sche Zahlenebene", "kartesische Form", "Polarform", "Exponentialform" kennen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• den Realteil, Imaginärteil, Betrag, das Argument einer komplexen Zahl bestimmen können.
• die verschiedenen Darstellungsarten einer komplexen Zahl kennen.
• eine komplexe Zahl von der einen Darstellungsform in eine andere umwandeln können.
• die Grundoperationen sowie das Potenzieren in der Menge der komplexen Zahlen korrekt ausführen können.
• die Euler'sche Formel auswendig kennen.
• wissen, wie die komplexe Konjugation definiert ist.
• eine komplexe Zahl komplex konjugieren können.
• wissen, wie eine komplexe Exponentialfunktion definiert ist.
• Grundoperationen bei einer komplexen Exponentialfunktion korrekt ausführen können.
• verstehen, was kontinuierliche, diskrete, analoge, abgetastete, quantisierte und digitale Signale sind.
• verstehen, was eine Periode, die Grundperiode einer Funktion ist.
• die Grundperiode einer Sinus- bzw. Cosinus-Funktion kennen.
• verstehen, was eine gerade, eine ungerade Funktion ist.
• verstehen, was eine lineare Operation ist.
• beurteilen können, ob eine Funktion periodisch ist oder nicht.
• die Grundperiode einer Funktion bestimmen können.
• beurteilen können, ob eine Funktion gerade, ungerade oder weder gerade noch ungerade ist.
• beurteilen können, ob eine Operation linear ist oder nicht.

Fourier-Reihen (FR)

• verstehen, warum es sinnvoll sein kann, eine Funktion als Linearkombination von geeigneten Basisfunktionen darzustellen.
• verstehen, warum es sinnvoll ist, ein periodisches Signal, welches durch ein LTI-System läuft, als Linearkombination von sinusförmigen Teilsignalen darzustellen.
• wissen, wie die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion definiert ist.
• verstehen, was die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion sind.
• verstehen, wie man die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion bestimmt.
• verstehen, wie eine periodische Funktion mit Hilfe der Fourier-Reihen-Darstellung in Grundschwingung und Oberschwingungen aufgeteilt wird.
• verstehen, wie sich die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion aus den einzelnen Fourier-Komponenten zusammensetzt.
• die reellen Fourier-Koeffizienten einer einfacheren periodischen Funktion von Hand und mit Hilfe von Integraltafeln bestimmen können.
• mit Hilfe des Computerprogrammes MAPLE die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion bestimmen können.
• verstehen, dass der konstante Anteil in der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion der zeitliche Mittelwert der Funktion über eine Grundperiode ist.
• verstehen, dass sich in der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion nur der konstante Anteil ändert, wenn man die Funktion mit einer Konstanten addiert.
• angeben können, wie sich der konstante Anteil der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion ändert, wenn der Graf der Funktion vertikal verschoben wird.
• aus dem Grafen einer einfacheren periodischen Funktion den konstanten Anteil der reellen Fourier-Reihe herauslesen können.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer geraden periodischen Funktion eine reine Cosinus-Reihe ist.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer ungeraden periodischen Funktion eine reine Sinus-Reihe ohne konstanten Anteil ist.
• ohne Berechnung von Integralen Aussagen über die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion mit speziellen Symmetrieeigenschaften machen können.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer konstanten Funktion weder Cosinus- noch Sinus-Glieder enthält sondern lediglich einen konstanten Anteil.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer reinen Cosinus-Funktion ein einziges Cosinus-Glied enthält.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer reinen Sinus-Funktion ein einziges Sinus-Glied enthält.
• ohne Berechnung von Integralen die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion bestimmen können, die sich aus trigonometrischen Teilfunktionen zusammensetzt.
• beurteilen können, wie sich die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion verändern, wenn man die Funktion skaliert.
• die Sinus-/Cosinus- und die Betrags-/Phasen-Darstellung der reellen Fourier-Reihe kennen.
• die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion von der Sinus-/Cosinus-Darstellung in die Betrags-/Phasen-Darstellung umformen können.
• verstehen, inwiefern sich bei einer zeitlichen Verschiebung einer periodischen Funktion deren reelle Fourier-Koeffizienten in der Betrags-/Phasen-Darstellung verändern.
• den Zusammenhang zwischen der komplexen und der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion verstehen.
• die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion in die komplexe Fourier-Reihe umformen können und umgekehrt.
• die komplexen Fourier-Reihe einer Funktion, die aus einer Linearkombination trigonometrischer Funktionen besteht, direkt bestimmen können.
• das Spektrum einer periodischen Funktion als Balkendiagramm grafisch darstellen können.
• die Bedeutung der einzelnen Summanden der Fourier-Reihe verstehen.
• verstehen, was die Parseval'sche Beziehung aussagt.
• mit Hilfe der Parseval'schen Beziehung mittlere Leistungen von einzelnen Fourier-Komponenten eines periodischen Signals bestimmen können.
• die Bedeutung der einzelnen Summanden in der komplexen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion verstehen.

Fourier-Transformation (FT)

• wissen, wie die Fourier-Transformierte einer aperiodischen Funktion definiert ist.
• das Fourier-Integral einer aperiodischen Funktion als Grenzwert der Fourier-Reihe einer periodischen Funktion mit unendlich gross werdender Grundperiode verstehen.
• die Analogie zwischen dem Fourier-Integral einer aperiodischen Funktion und der Fourier-Reihe einer periodischen Funktion sowie zwischen der Fourier-Transformierten einer aperiodischen Funktion und den Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion verstehen.
• die Fourier-Transformierte einer einfacheren aperiodischen Funktion von Hand und mit Hilfe von Integraltafeln bestimmen können.
• mit Hilfe des Computerprogrammes MAPLE die Fourier-Transformierte einer aperiodischen Funktion bestimmen können.
• verstehen, was die Parseval'sche Beziehung aussagt.
• die physikalische Bedeutung der Fourier-Transformierten verstehen.
• verstehen, dass die Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion Abtastwerte der Fourier-Transformierten einer Grundperiode der Funktion sind.
• verstehen, wie die Dirac'sche Delta-"Funktion" definiert ist.
• die Ausblendeigenschaft des Diracstosses verstehen.
• die Beziehungen zwischen der Sprungfunktion und dem Diracstoss kennen.
• wissen, wie man mit der Dirac'schen Delta-"Funktion" rechnet, insbesondere, wenn sie als Faktor eines Integranden auftritt.
• die Fourier-Transformierte des Diracstosses auswendig kennen.
• verstehen, dass die Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion im Rahmen der üblichen Funktionentheorie (ohne Dirac'sche Delta-"Funktion") nicht existiert.
• verstehen, dass man mit Hilfe der Dirac'schen Delta-"Funktion" eine Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion angeben kann.
• die Fourier-Transformierte einer einfacheren periodischen Funktion von Hand und mit Hilfe von Integraltafeln bestimmen können.
• die Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion grafisch darstellen können.
• die Fourier-Transformation und die Fourier-Rücktransformation als Abbildungen zwischen zwei Funktionenräumen verstehen.
• wissen und verstehen, dass die Fourier-Transformation linear ist.
• wissen, dass die Fourier-Transformation Symmetrieeigenschaften besitzt.
• die Zeitverschiebungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
• die Zeitskalierungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
• grafisch beurteilen können, wie sich eine Zeitskalierung bei einer Funktion auf deren Fourier-Transformierte auswirkt.
• die Zeitverschiebungs- und die Zeitskalierungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation bei der Bestimmung der Fourier-Transformierten anwenden.
• die Dualitäts-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
• die Dualitäts-Eigenschaft der Fourier-Transformation anwenden können.
• verstehen, was ein LTI-System ist.
• eine Funktion als Näherung einer Summe von Rechtecksimpulsen verstehen.
• wissen, wie die Faltung zweier Funktionen definiert ist.
• verstehen, dass eine Funktion gleich seiner Faltung mit einem Diracstoss ist.
• wissen, was die Stossantwort eines LTI-Systems ist.
• verstehen, dass der Output eines LTI-Systems gleich der Faltung des Inputs mit der Stossantwort ist.
• wissen, wie die Faltung zweier Funktionen definiert ist.
• wissen, dass die Faltung das Kommutativgesetz erfüllt.
• sich das Faltungsintegral zweier Funktionen grafisch vorstellen können.
• die Faltung zweier einfacher Funktionen grafisch ausführen können.
• die Faltungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
• die Faltungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation anwenden können.
• verstehen, warum man die Fourier-Transformierte der Stossantwort eines LTI-Systems als Frequenzgang bezeichnet.
• verstehen, dass die Reihenfolge zweier oder mehrerer hintereinander geschalteter LTI-Systeme keine Rolle spielt.
• verstehen, dass ein komplexes exponentielles Signal eine Eigenfunktion eines LTI-Systems ist.
• verstehen, dass ein LTI-System mit reeller Stossantwort einen sinusförimigen Input in einen sinusförmigen Output mit derselben Frequenz überführt.
• bei einem LTI-System mit bekanntem Frequenzgang den Output zu einem sinusförmigen Input bestimmen können.
• verstehen, dass ein RC-Glied ein Tiefpassfilter ist.
• die Modulations-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
• das Spektrum eines modulierten Signals mit Hilfe der Modulations-Eigenschaft der Fourier-Transformation bestimmen können.
• verstehen, wie sich das Modulieren eines Signals mit einem periodischen Signal im Spektrum auswirkt.
• Spektren modulierter Signale ohne Berechnung grafisch skizzieren können.

Laplace-Transformation (LT)

• Gründe kennen, warum in der Signalverarbeitung neben der Fourier-Transformation auch die Laplace-Transformation verwendet wird.
• wissen, wie die Laplace-Transformation definiert ist.
• die Laplace-Transformation und die Laplace-Rücktransformation als Abbildungen zwischen zwei Funktionenräumen verstehen.
• die Laplace-Transformierte einer einfacheren Funktion von Hand und mit Hilfe von Integraltafeln bestimmen können.
• verstehen, dass der algebraische Ausdruck allein die Laplace-Transformierte einer Funktion nicht vollständig beschreibt.
• Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen der Laplace- und der Fourier-Transformierten einer Funktion kennen.
• verstehen, dass die Laplace-Transformation eine lineare Abbildung ist.
• den Zusammenhang zwischen der Laplace- und der Fourier-Transformation verstehen.
• Eigenschaften des Konvergenzbereiches der Laplace-Transformierten einer Funktion kennen.
• den Zusammenhang zwischen Eigenschaften des Konvergenzbereiches der Laplace-Transformierten einer Funktion und Eigenschaften der Funktion kennen.
• das Pol-Nullstellen-Diagramm einer Laplace-Transformierten skizzieren können.
• aus der Laplace-Transformierten einer Funktion deren Fourier-Transformierte bestimmen können.
• die zu einer Laplace-Transformierten gehörige Rücktransformierte mit Hilfe von Transformationstabellen und der Methode der Partialbruchzerlegung bestimmen können.
• verstehen, dass die Laplace-Transformation die gleichen Eigenschaften besitzt wie die Fourier-Transformation.
• die Zeitverschiebungs-, Zeitskalierungs- und die Faltungseigenschaft der Laplace-Transformation kennen, verstehen und bei der Bestimmung der Laplace-Transformierten bzw. der Laplace-Rücktransformierten anwenden können.
• mit Hilfe der Faltungseigenschaft der Laplace-Transformation den Output eines LTI-Systems aus dem Input bestimmen können.
• verstehen, dass ein komplexes exponentielles Signal eine Eigenfunktion eines LTI-Systems ist.
• die Differentiations-Eigenschaft der Laplace-Transformation kennen und verstehen.
• wissen, was die Uebertragungsfunktion eines LTI-Systems ist.
• die Übertragungsfunktion eines LTI-Systems aus einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten bestimmen können, welche den Input und den Output des LTI-Systems verknüpft.
• die Definitionen von Kausalität und Stabilität eines LTI-Systems kennen.
• mit Hilfe der Übertragungsfunktion beurteilen können, ob ein kausales LTI-System stabil ist oder nicht.
• aus der Übertragungsfunktion den Frequenzgang eines LTI-Systems bestimmen können.

Fourier-Transformation für Abtastsignale (FTA)

• verstehen, was kontinuierliche, diskrete, analoge, abgetastete, quantisierte und digitale Signale sind.
• wissen, wie die ideale Abtastung einer zeitkontinuierlichen Funktion definiert ist.
• die Begriffe "Abtastperiode" und "Abtadtfrequenz" kennen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• einige grundlegende Unterschiede zwischen zeitkontinuierlichen und zeitdiskreten Funktionen kennen.
• verstehen, dass das Abtasten einer zeitkontinuierlichen Funktion eine zeitvariante Operation ist.
• aus der Angabe einer zeitkontinuierlichen Funktion und einer Abtastperiode die dazugehörige zeitdiskrete Funktion bestimmen können und umgekehrt.
• zeitdiskrete Funktionen grafisch darstellen können.
• verstehen, dass die Abtastung einer zeitkontinuierlichen, periodischen Funktion nicht notwendigerweise periodisch ist.
• verstehen, dass die Abtastung einer zeitkontinuierlichen Funktion mit verschiedenen Abtastperioden zu identischen zeitdiskreten Funktionen führen kann.
• die Periodizität einer zeitdiskreten Funktion beurteilen können.
• wissen, wie die Fourier-Transformation für Abtastsignale (FTA) definiert ist.
• den Zusammenhang zwischen der Fourier-Transformation (FT) und der FTA verstehen.
• verstehen, dass das Spektrum einer abgetasteten Funktion periodisch ist.
• verstehen, wie die Grundperiode des Spektrums einer abgetasteten Funktion von der Abtastperiode abhängt.
• die Fourier-Transformierte einer einfacheren zeitdiskreten Funktion von Hand bestimmen können.
• das Abtasttheorem von Shannon kennen und verstehen.
• verstehen, dass bei nicht-erfülltem Abtasttheorem die ursprüngliche zeitkontinuierliche Funktion aus der abgetasteten Funktion nicht mehr rekonstruiert werden kann.
• verstehen, dass verschiedene Funktionen bei gleicher Abtastperiode auf gleiche Abtastfunktionen führen können.
• wissen und verstehen, dass man in der Praxis nicht ideal abtasten kann und dass man deshalb eine Funktion, die abgetastet wurde, nicht mehr vollständig exakt rekonstruieren kann.

Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

• verstehen, dass die Fourier-Koeffizienten einer periodisch fortgesetzten Funktion Abtastwerte der Fourier-Transformierten der ursprünglichen Funktion sind.
• verstehen, dass eine Funktion sowohl durch Aufaddieren verschobener Versionen der Funktion als auch durch Faltung mit einer Deltafolge periodisch fortgesetzt werden kann.
• wissen, dass die Fourier-Transformierte einer Deltafolge wieder eine Deltafolge ist.
• wissen und verstehen, wie die diskrete Fourier-Transformation definiert ist.
• wissen und verstehen, wieviel Information in der diskreten Fourier-Transformierten einer zeitdiskreten Funktion enthalten ist.
• den Zusammenhang zwischen der diskreten Fourier-Transformierten einer zeitdiskreten Funktion und den Fourier-Koeffizienten der dazugehörigen periodisch fortgesetzten Abtastfunktion verstehen.
• verstehen, wie weit die diskrete Fourier-Transformierte einer zeitdiskreten Funktion den Fourier-Koeffizienten einer periodischen, zeitkontinuierlichen Funktion entsprechen.
• verstehen, was die Parseval'sche Beziehung aussagt.
• den Einfluss der Fensterlänge und der Abtastperiode auf die diskrete Fourier-Transformierte einer zeitdiskreten Funktion verstehen.
• wissen, dass der Rechenaufwand beim Berechnen der diskreten Fourier-Transformierten mit dem Algorithmus der schnellen Fourier-Transformation (FFT) wesentlich verringert werden kann.
• den FFT-Algorithmus von Cooley und Tukey zur Bestimmung der diskreten Fourier-Transformierten eines zeitdiskreten Signals verstehen.
• verstehen, was ein LTD-System ist.
• verstehen, dass eine diskrete Funktion als Summe gewichteter Impulse geschrieben werden kann.
• wissen, wie die diskrete lineare Faltung zweier diskreter Funktionen definiert ist.
• wissen, was die Impulsantwort eines LTD-Systems ist.
• verstehen, dass der Output eines LTD-Systems gleich der diskreten linearen Faltung des Inputs mit der Impulsantwort ist.
• die diskrete lineare Faltung zweier zeitdiskreter Funktionen sowohl analytisch als auch grafisch bestimmen können.
• verstehen, dass für ein LTD-System mit beliebiger Impulsantwort gilt:
  Jedes komplexe exponentielle Signal ist eine Eigenfunktion des LTD-Systems.
• verstehen, dass für ein LTD-System mit reeller Impulsantwort gilt:
  Bei einem sinusförmigen Eingangssignal ist das Ausgangssignal wieder ein sinusförmiges Signal mit derselben
  Frequenz.
• wissen, wie die diskrete zyklische Faltung zweier diskreter Funktionen definiert ist.
• die Faltungs-Eigenschaft der diskreten Fourier-Transformation kennen.

z-Transformation (ZT)

• wissen, wie die z-Transformation definiert ist.
• die z-Transformation als Abbildung zwischen zwei Funktionenräumen verstehen.
• den Zusammenhang zwischen der z-Transformation und der Fourier-Transformation für Abtastsignale kennen und
  verstehen.
• verstehen, dass der Zusammenhang zwischen der z-Transformation und der Fourier-Transformation für Abtastsignale analog ist zum Zusammenhang zwischen der Laplace-Transformation und der Fourier-Transformation bei zeitkontinuierlichen
  Funktionen.
• Eigenschaften des Konvergenzbereiches der z-Transformation kennen und verstehen.
• die z-Transformierte einer einfacheren zeitdiskreten Funktion von Hand bestimmen können.
• verstehen, dass die z-Transformation eine lineare Abbildung ist.
• die Zeitverschiebungs- und die Faltungseigenschaft der z-Transformation kennen, verstehen und bei der Bestimmung der z-Transformierten anwenden können.
• mit Hilfe von Transformationstabellen und der Methode "Partialbruchzerlegung" aus der z-Transformierten einer Funktion deren inverse z-Transformierte bestimmen können.
• verstehen, was eine Differenzengleichung ist.
• wissen, was die Übertragungsfunktion eines LTD-Systems ist.
• wissen, dass ein LTD-System mit einer Differenzengleichung beschrieben werden kann, die den Input und den
  Output verknüpft.
• an Hand eines konkreten Beispiels verstehen, wie eine zu einem LTD-System gehörige Differenzengleichung zu Stande kommt.
• bei einem LTD-System den Zusammenhang zwischen der Differenzengleichung, welche den Input und den Output
  verknüpft, und der Übertragungsfunktion verstehen.
• aus der Differenzengleichung eines LTD-Systems die dazugehörige Übertragungsfunktion herleiten können.
• aus der Übertragungsfunktion eines LTD-Systems die dazugehörige Differenzengleichung herleiten können.
• eine Differenzengleichung mit konstanten Koeffizienten rekursiv lösen können.
• die Definitionen von Kausalität und Stabilität eines LTD-Systems kennen.
• die Zusammenhänge zwischen den Polen der Übertragungsfunktion eines LTD-Systems und der Kausalität bzw. Stabilität des Systems kennen und bei der Analyse eines LTD-Systems anwenden können.
• verstehen, was man unter der Diskretisierung eines LTI-Systems versteht.
• wissen, dass es verschiedene Diskretisierungsmethoden gibt.
• ein zeitkontinuierliches LTI-System mit Hilfe der Methoden Impulsinvarianz und Näherung der Differentialgleichung durch eine Differenzengleichung diskretisieren können.
• beurteilen können, ob ein Eingangs-Ausgangs-Signalpaar eines bestimmten LTI-Systems nach deren Abtastung und nach der Diskretisierung des Systems immer noch ein Eingangs-Ausgangs-Signalpaar bilden.

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