Mathematik 3, Telekommunikation/Elektrotechnik, HTW
Chur, Thomas Borer, 2006/07
Lernziele
Allgemein
- eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten
können.
- sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse erarbeiten
können.
- eine neue Problemstellung selbstständig und in Gruppen bearbeiten können.
- einen bekannten oder neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.
- neue Erkenntnisse und offene Fragen in einer Gruppe diskutieren können.
- Erkenntnisse in geeigneter Form zusammenfassen können.
- Lösungswege in Gruppen diskutieren können.
- Lösungswege übersichtlich, vollständig und verständlich
dokumentieren können.
- einfachere Integrale von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle lösen
können.
Laplace-Transformation
- das Lösen einer linearen Differentialgleichung und die Bestimmung der
Übertragungsfunktion eines LTI-Systems als Anwendungen der Laplace-Transformation
kennen.
- wissen, wie die (einseitige) Laplace-Transformation definiert ist.
- die Laplace-Transformation und die Laplace-Rücktransformation als Abbildungen
zwischen zwei Funktionenräumen verstehen.
- die (einseitige) Laplace-Transformierte einer einfacheren rechtsseitigen
Funktion von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
- verstehen, dass der Konvergenzbereich ein Bestandteil einer Laplace-Transformierten
ist.
- den zu einer Laplace-Transformierten gehörigen Konvergenzbereich bestimmen
können.
- Eigenschaften des Konvergenzbereiches der Laplace-Transformierten einer
rechtsseitigen Funktion kennen und verstehen.
- eine Laplace-Transformations-Tabelle zur Bestimmung einer Laplace-Transformierten
anwenden können.
- die Linearitäts-Eigenschaft der Laplace-Transformation kennen, verstehen
und zur Bestimmung einer Laplace-Transformierten anwenden können.
- wissen, wie die Faltung zweier Funktionen definiert ist.
- wissen, dass der Output eines LTI-Systems gleich der Faltung des Inputs
mit einer systembeschreibenden Funktion ist.
- sich das Faltungsintegral zweier Funktionen grafisch vorstellen können.
- die Faltung zweier einfacher Funktionen sowohl grafisch als auch analytisch
ausführen können.
- den Faltungssatz kennen und verstehen.
- den Ähnlichkeitssatz verstehen und zur Bestimmung einer Laplace-Transformierten
anwenden können.
- die Verschiebungssätze verstehen und zur Bestimmung einer Laplace-Transformierten
anwenden können.
- den Ableitungssatzfür die Originalfunktion verstehen und zur Bestimmung
einer Laplace-Transformierten anwenden können.
- eine Laplace-Transformations-Tabelle zur Bestimmung einer Laplace-Rücktransformierten
anwenden können.
- die Linearitäts-Eigenschaft der Laplace-Transformation zur Bestimmung
einer Laplace-Rücktransformierten anwenden können.
- den Faltungssatz zur Bestimmung einer Laplace-Rücktransformierten anwenden
können.
- die Methode der Partialbruchzerlegung zur Bestimmung der Laplace-Rücktransformierten
einer gebrochen rationalen Bildfunktion anwenden können.
Fourier-Reihen
- verstehen, warum es sinnvoll ist, eine Funktion als Linearkombination von
geeigneten Basisfunktionen darzustellen.
- verstehen, warum es sinnvoll ist, ein periodisches Signal, welches durch
ein lineares, zeitinvariantesSystem läuft, als Linearkombination von
sinusförmigen Basissignalen darzustellen.
- verstehen, was die Grundperiode, die Grundfrequenz einer Funktion ist.
- die Grundperiode einer Sinus- bzw. Cosinus-Funktion kennen.
- verstehen, dass die Grundfrequenz der in der reellen Fourier-Reihe einer
periodischen Funktion auftretenden Basisfunktionen ganzzahlige Vielfache der
Grundfrequenz der periodischen Funktion sind.
- wissen, wie die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion definiert
ist.
- wissen, was die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion
sind.
- verstehen, wie sich die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion
aus den einzelnen Fourier-Komponenten zusammensetzt.
- verstehen, wie eine periodische Funktion mit Hilfe der Fourier-Reihen-Darstellung
in Grundschwingung und Oberschwingungen aufgeteilt wird.
- verstehen, wie man die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen
Funktion bestimmt.
- die reellen Fourier-Koeffizienten einer einfacheren periodischen Funktion
von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
- die endliche reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion als Näherung
der Funktion verstehen.
- das Verhalten der Fourier-Reihe einer periodischen Funktion an einer Unstetigkeitsstelle
der Funktion kennen.
- verstehen, dass der konstante Anteil in der reellen Fourier-Reihe einer
periodischen Funktion der zeitliche Mittelwert der Funktion über eine
Grundperiode ist.
- verstehen, dass sich in der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion
nur der konstante Anteil ändert, wenn man die Funktion mit einer Konstanten
addiert.
- angeben können, wie sich der konstante Anteil der reellen Fourier-Reihe
einer periodischen Funktion ändert, wenn der Graf der Funktion vertikal
verschoben wird.
- aus dem Grafen einer einfacheren periodischen Funktion den konstanten Anteil
der reellen Fourier-Reihe herauslesen können.
- verstehen, was eine gerade, ungerade Funktion ist.
- verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer geraden periodischen Funktion
eine reine Cosinus-Reihe ist.
- verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer ungeraden periodischen Funktion
eine reine Sinus-Reihe ohne konstanten Anteil ist.
- ohne Berechnung von Integralen Aussagen über die reellen Fourier-Koeffizienten
einer periodischen Funktion mit speziellen Symmetrieeigenschaften machen können.
- verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer konstanten Funktion weder
Cosinus- noch Sinus-Glieder enthält sondern lediglich einen konstanten
Anteil.
- verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer reinen Cosinus-Funktion ein
einziges Cosinus-Glied enthält.
- verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer reinen Sinus-Funktion ein
einziges Sinus-Glied enthält.
- ohne Berechnung von Integralen die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen
Funktion bestimmen können, die sich aus trigonometrischen Teilfunktionen
zusammensetzt.
- verstehen, wie sich die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen
Funktion aus den reellen Fourier-Koeffizienten von Teilfunktionen zusammensetzen.
- die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion bestimmen können,
die aus einer Linearkombination von Funktionen mit gleicher Grundperiode bestehen
und deren reelle Fourier-Reihen bekannt sind.
- beurteilen können, wie sich die reellen Fourier-Koeffizienten einer
periodischen Funktion verändern, wenn man die Funktion skaliert.
- die Sinus-/Cosinus- und die Betrags-/Phasen-Darstellung der reellen Fourier-Reihe
kennen.
- den Zusammenhang zwischen der komplexen und der reellen Fourier-Reihe einer
periodischen Funktion verstehen.
- die Bedeutung der einzelnen Summanden in der reellen und in der komplexen
Fourier-Reihe einer periodischen Funktion verstehen.
- die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion in die komplexe Fourier-Reihe
umformen können.
- die grundlegenden Symmetrieeigenschaften der komplexen Fourier-Koeffizienten
einer reellen periodischen Funktion kennen und verstehen.
- die komplexe Fourier-Reihe einer Funktion, die aus einer Linearkombination
trigonometrischer Funktionen besteht, direkt bestimmen können.
- das Spektrum einer periodischen Funktion als Balkendiagramm grafisch darstellen
können.
- beurteilen können, wie sich die komplexen Fourier-Koeffizienten einer
periodischen Funktion verändern, wenn man die Funktion skaliert.
- verstehen, was die Parseval'sche Beziehung aussagt.
Fourier-Transformation
- wissen, wie die Fourier-Transformierte einer aperiodischen Funktion definiert
ist.
- die Fourier-Transformation und die Fourier-Rücktransformation als Abbildungen
zwischen zwei Funktionenräumen verstehen.
- das Fourier-Integral einer aperiodischen Funktion als Grenzwert der Fourier-Reihe
einer periodischen Funktion mit unendlich gross werdender Grundperiode verstehen.
- die Analogie zwischen dem Fourier-Integral einer aperiodischen Funktion
und der Fourier-Reihe einer periodischen Funktion sowie zwischen der Fourier-Transformierten
einer aperiodischen Funktion und den Fourier-Koeffizienten einer periodischen
Funktion verstehen.
- die Fourier-Transformierte einer einfacheren aperiodischen Funktion von
Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
- verstehen, was die Parseval'sche Beziehung aussagt.
- die physikalische Bedeutung der Fourier-Transformierten verstehen.
- verstehen, dass die Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion Abtastwerte
der Fourier-Transformierten einer Grundperiode der Funktion sind.
- verstehen, wie die Dirac'sche Delta-"Funktion" definiert ist.
- die Ausblendeigenschaft des Diracstosses verstehen.
- die Beziehungen zwischen der Sprungfunktion und dem Diracstoss kennen.
- Integrale bestimmen können, in welchen die Dirac'sche Delta-Funktion
als Faktor des Integranden auftritt.
- verstehen, dass die Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion im
Rahmen der üblichen Funktionentheorie (ohne Dirac'sche Delta-"Funktion")
nicht existiert.
- wissen, wie dass man mit Hilfe der Dirac'schen Delta-"Funktion"
eine Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion angeben kann.
- die Fourier-Transformierte einer einfacheren periodischen Funktion von Hand
und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
- die Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion grafisch darstellen
können.
- den Zusammenhang zwischen der Fourier- und der Laplace-Transformierten
einer Funktion kennen und verstehen.
- wissen und verstehen, dass die Fourier-Transformation gleiche Eigenschaften
besitzt wie die Laplace-Transformation.
- wissen und verstehen, dass die Fourier-Transformation linear ist.
- die grundlegende Symmetrieeigenschafte der Fourier-Transformierten einer
reellen Funktion kennen und verstehen.
- wissen, dass der Betrag der Fourier-Transformierten einer reellen Funktion
gerade ist.
- wissen, dass das Argument der Fourier-Transformierten einer reellen Funktion
ungerade ist.
- die Symmetrieeigenschaften der Fourier-Transformation an einer konkreten
Funktion nachprüfen können.
- die Zeitverschiebungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und
verstehen.
- die Zeitskalierungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
- grafisch beurteilen können, wie sich eine Zeitskalierung bei einer
Funktion auf deren Fourier-Transformierte auswirkt.
- die Zeitverschiebungs-, die Zeitskalierungs- und die Linearitäts-Eigenschaft
der Fourier-Transformation bei der Bestimmung der Fourier-Transformierten
anwenden können.
- die Faltungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
- wissen, wie die Modulation zweier Signale definiert ist.
- die Modulations-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
- das Spektrum eines modulierten Signals mit Hilfe der Modulations-Eigenschaft
der Fourier-Transformation bestimmen können.
8.8.2007 tb