Mathematik 3, Telekommunikation/Elektrotechnik, HTW Chur, Thomas Borer, 2006/07

Lernziele

Allgemein

• eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten können.
• sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse erarbeiten können.
• eine neue Problemstellung selbstständig und in Gruppen bearbeiten können.
• einen bekannten oder neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.
• neue Erkenntnisse und offene Fragen in einer Gruppe diskutieren können.
• Erkenntnisse in geeigneter Form zusammenfassen können.
• Lösungswege in Gruppen diskutieren können.
• Lösungswege übersichtlich, vollständig und verständlich dokumentieren können.
• einfachere Integrale von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle lösen können.

Laplace-Transformation

• das Lösen einer linearen Differentialgleichung und die Bestimmung der Übertragungsfunktion eines LTI-Systems als Anwendungen der Laplace-Transformation kennen.
• wissen, wie die (einseitige) Laplace-Transformation definiert ist.
• die Laplace-Transformation und die Laplace-Rücktransformation als Abbildungen zwischen zwei Funktionenräumen verstehen.
• die (einseitige) Laplace-Transformierte einer einfacheren rechtsseitigen Funktion von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
• verstehen, dass der Konvergenzbereich ein Bestandteil einer Laplace-Transformierten ist.
• den zu einer Laplace-Transformierten gehörigen Konvergenzbereich bestimmen können.
• Eigenschaften des Konvergenzbereiches der Laplace-Transformierten einer rechtsseitigen Funktion kennen und verstehen.
• eine Laplace-Transformations-Tabelle zur Bestimmung einer Laplace-Transformierten anwenden können.
• die Linearitäts-Eigenschaft der Laplace-Transformation kennen, verstehen und zur Bestimmung einer Laplace-Transformierten anwenden können.
• wissen, wie die Faltung zweier Funktionen definiert ist.
• wissen, dass der Output eines LTI-Systems gleich der Faltung des Inputs mit einer systembeschreibenden Funktion ist.
• sich das Faltungsintegral zweier Funktionen grafisch vorstellen können.
• die Faltung zweier einfacher Funktionen sowohl grafisch als auch analytisch ausführen können.
• den Faltungssatz kennen und verstehen.
• den Ähnlichkeitssatz verstehen und zur Bestimmung einer Laplace-Transformierten anwenden können.
• die Verschiebungssätze verstehen und zur Bestimmung einer Laplace-Transformierten anwenden können.
• den Ableitungssatzfür die Originalfunktion verstehen und zur Bestimmung einer Laplace-Transformierten anwenden können.
• eine Laplace-Transformations-Tabelle zur Bestimmung einer Laplace-Rücktransformierten anwenden können.
• die Linearitäts-Eigenschaft der Laplace-Transformation zur Bestimmung einer Laplace-Rücktransformierten anwenden können.
• den Faltungssatz zur Bestimmung einer Laplace-Rücktransformierten anwenden können.
• die Methode der Partialbruchzerlegung zur Bestimmung der Laplace-Rücktransformierten einer gebrochen rationalen Bildfunktion anwenden können.

Fourier-Reihen

• verstehen, warum es sinnvoll ist, eine Funktion als Linearkombination von geeigneten Basisfunktionen darzustellen.
• verstehen, warum es sinnvoll ist, ein periodisches Signal, welches durch ein lineares, zeitinvariantesSystem läuft, als Linearkombination von sinusförmigen Basissignalen darzustellen.
• verstehen, was die Grundperiode, die Grundfrequenz einer Funktion ist.
• die Grundperiode einer Sinus- bzw. Cosinus-Funktion kennen.
• verstehen, dass die Grundfrequenz der in der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion auftretenden Basisfunktionen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz der periodischen Funktion sind.
• wissen, wie die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion definiert ist.
• wissen, was die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion sind.
• verstehen, wie sich die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion aus den einzelnen Fourier-Komponenten zusammensetzt.
• verstehen, wie eine periodische Funktion mit Hilfe der Fourier-Reihen-Darstellung in Grundschwingung und Oberschwingungen aufgeteilt wird.
• verstehen, wie man die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion bestimmt.
• die reellen Fourier-Koeffizienten einer einfacheren periodischen Funktion von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
• die endliche reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion als Näherung der Funktion verstehen.
• das Verhalten der Fourier-Reihe einer periodischen Funktion an einer Unstetigkeitsstelle der Funktion kennen.
• verstehen, dass der konstante Anteil in der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion der zeitliche Mittelwert der Funktion über eine Grundperiode ist.
• verstehen, dass sich in der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion nur der konstante Anteil ändert, wenn man die Funktion mit einer Konstanten addiert.
• angeben können, wie sich der konstante Anteil der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion ändert, wenn der Graf der Funktion vertikal verschoben wird.
• aus dem Grafen einer einfacheren periodischen Funktion den konstanten Anteil der reellen Fourier-Reihe herauslesen können.
• verstehen, was eine gerade, ungerade Funktion ist.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer geraden periodischen Funktion eine reine Cosinus-Reihe ist.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer ungeraden periodischen Funktion eine reine Sinus-Reihe ohne konstanten Anteil ist.
• ohne Berechnung von Integralen Aussagen über die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion mit speziellen Symmetrieeigenschaften machen können.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer konstanten Funktion weder Cosinus- noch Sinus-Glieder enthält sondern lediglich einen konstanten Anteil.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer reinen Cosinus-Funktion ein einziges Cosinus-Glied enthält.
• verstehen, dass die reelle Fourier-Reihe einer reinen Sinus-Funktion ein einziges Sinus-Glied enthält.
• ohne Berechnung von Integralen die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion bestimmen können, die sich aus trigonometrischen Teilfunktionen zusammensetzt.
• verstehen, wie sich die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion aus den reellen Fourier-Koeffizienten von Teilfunktionen zusammensetzen.
• die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion bestimmen können, die aus einer Linearkombination von Funktionen mit gleicher Grundperiode bestehen und deren reelle Fourier-Reihen bekannt sind.
• beurteilen können, wie sich die reellen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion verändern, wenn man die Funktion skaliert.
• die Sinus-/Cosinus- und die Betrags-/Phasen-Darstellung der reellen Fourier-Reihe kennen.
• den Zusammenhang zwischen der komplexen und der reellen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion verstehen.
• die Bedeutung der einzelnen Summanden in der reellen und in der komplexen Fourier-Reihe einer periodischen Funktion verstehen.
• die reelle Fourier-Reihe einer periodischen Funktion in die komplexe Fourier-Reihe umformen können.
• die grundlegenden Symmetrieeigenschaften der komplexen Fourier-Koeffizienten einer reellen periodischen Funktion kennen und verstehen.
• die komplexe Fourier-Reihe einer Funktion, die aus einer Linearkombination trigonometrischer Funktionen besteht, direkt bestimmen können.
• das Spektrum einer periodischen Funktion als Balkendiagramm grafisch darstellen können.
• beurteilen können, wie sich die komplexen Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion verändern, wenn man die Funktion skaliert.
• verstehen, was die Parseval'sche Beziehung aussagt.

Fourier-Transformation

• wissen, wie die Fourier-Transformierte einer aperiodischen Funktion definiert ist.
• die Fourier-Transformation und die Fourier-Rücktransformation als Abbildungen zwischen zwei Funktionenräumen verstehen.
• das Fourier-Integral einer aperiodischen Funktion als Grenzwert der Fourier-Reihe einer periodischen Funktion mit unendlich gross werdender Grundperiode verstehen.
• die Analogie zwischen dem Fourier-Integral einer aperiodischen Funktion und der Fourier-Reihe einer periodischen Funktion sowie zwischen der Fourier-Transformierten einer aperiodischen Funktion und den Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion verstehen.
• die Fourier-Transformierte einer einfacheren aperiodischen Funktion von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
• verstehen, was die Parseval'sche Beziehung aussagt.
• die physikalische Bedeutung der Fourier-Transformierten verstehen.
• verstehen, dass die Fourier-Koeffizienten einer periodischen Funktion Abtastwerte der Fourier-Transformierten einer Grundperiode der Funktion sind.
• verstehen, wie die Dirac'sche Delta-"Funktion" definiert ist.
• die Ausblendeigenschaft des Diracstosses verstehen.
• die Beziehungen zwischen der Sprungfunktion und dem Diracstoss kennen.
• Integrale bestimmen können, in welchen die Dirac'sche Delta-Funktion als Faktor des Integranden auftritt.
• verstehen, dass die Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion im Rahmen der üblichen Funktionentheorie (ohne Dirac'sche Delta-"Funktion") nicht existiert.
• wissen, wie dass man mit Hilfe der Dirac'schen Delta-"Funktion" eine Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion angeben kann.
• die Fourier-Transformierte einer einfacheren periodischen Funktion von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
• die Fourier-Transformierte einer periodischen Funktion grafisch darstellen können.
• den Zusammenhang zwischen der Fourier- und der Laplace-Transformierten einer Funktion kennen und verstehen.
• wissen und verstehen, dass die Fourier-Transformation gleiche Eigenschaften besitzt wie die Laplace-Transformation.
• wissen und verstehen, dass die Fourier-Transformation linear ist.
• die grundlegende Symmetrieeigenschafte der Fourier-Transformierten einer reellen Funktion kennen und verstehen.
• wissen, dass der Betrag der Fourier-Transformierten einer reellen Funktion gerade ist.
• wissen, dass das Argument der Fourier-Transformierten einer reellen Funktion ungerade ist.
• die Symmetrieeigenschaften der Fourier-Transformation an einer konkreten Funktion nachprüfen können.
• die Zeitverschiebungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
• die Zeitskalierungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
• grafisch beurteilen können, wie sich eine Zeitskalierung bei einer Funktion auf deren Fourier-Transformierte auswirkt.
• die Zeitverschiebungs-, die Zeitskalierungs- und die Linearitäts-Eigenschaft der Fourier-Transformation bei der Bestimmung der Fourier-Transformierten anwenden können.
• die Faltungs-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
• wissen, wie die Modulation zweier Signale definiert ist.
• die Modulations-Eigenschaft der Fourier-Transformation kennen und verstehen.
• das Spektrum eines modulierten Signals mit Hilfe der Modulations-Eigenschaft der Fourier-Transformation bestimmen können.

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