Mehrdimensionale Analysis (MAS-A), Systemtechnik NTB, HTW Chur, Thomas Borer, 2018/19

Lernziele

Allgemein

• eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten können.
• eine bekannte oder neue Problemstellung selbstständig bearbeiten und in einer Gruppe diskutieren können.
• sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse und Fähigkeiten erarbeiten können.
• einen bekannten oder neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.
• Erkenntnisse in geeigneter Form darstellen und zusammenfassen können.
• Lösungswege vollständig, übersichtlich und verständlich dokumentieren können.

Funktionen von mehreren Variablen

• wissen und verstehen, was eine Funktion von zwei Variablen ist.
• eine Funktion von zwei Variablen analytisch darstellen können.
• den grösstmöglichen Definitionsbereich einer Funktion von zwei Variablen bestimmen können.
• wissen und verstehen, dass der Graf einer Funktion von zwei Variablen eine Fläche im Raum ist.
• den Grafen einer einfacheren Funktion von zwei Variablen von Hand skizzieren können.
• am Funktionsterm einer Funktion von zwei Variablen erkennen können, ob der Graf der Funktion eine Ebene ist.
• am Funktionsterm einer Funktion von zwei Variablen erkennen können, ob der Graf der Funktion rotationssymmetrisch ist.
• wissen und verstehen, was eine explizite/implizite Darstellung einer Fläche im Raum ist.
• eine einfachere explizit/implizit dargestellte Fläche im Raum von Hand skizzieren können.
• wissen und verstehen, was eine Höhen-/Niveaulinie einer Funktion von zwei Variablen ist.
• die Niveaulinien einer einfacheren Funktion von zwei Variablen von Hand bestimmen, beschreiben und skizzieren können.
• Kennlinien als Anwendung von Niveaulinien einer Funktion von zwei Variablen verstehen.
• den Grafen einer Funktion von zwei Variablen mit MATLAB zeichnen können.
• die Niveaulinien einer Funktion von zwei Variablen mit MATLAB zeichnen können.
• wissen und verstehen, was eine Funktion von mehr als zwei Variablen ist.
• wissen und verstehen, was ein Skalarfeld ist.
• wissen und verstehen, was eine Höhen-/Niveaufläche einer Funktion von drei Variablen ist.
• die Niveauflächen einer einfacheren Funktion von drei Variablen von Hand bestimmen, beschreiben und skizzieren können.
• wissen und verstehen, was eine Linearform ist.
• die Vektordarstellung einer Linearform kennen und verstehen.
• eine Linearform von der Vektordarstellung in die ausmultiplizierte Form überführen können und umgekehrt.
• wissen und verstehen, was eine quadratische Form ist.
• die Matrixdarstellung einer quadratischen Form kennen und verstehen.
• eine quadratische Form von der Matrixdarstellung in die ausmultiplizierte Form überführen können und umgekehrt.
• die Niveaulinien einer einfacheren quadratischen Form von zwei Variablen von Hand bestimmen und skizzieren können.
• wissen und verstehen, was ein Vektorfeld ist.
• einfachere zweidimensionale Vektorfelder von Hand skizzieren können.
• zwei- und dreidimensionale Vektorfelder mit MATLAB darstellen können.

Differentialrechnung für Funktionen von mehreren Variablen

• wissen und verstehen, was eine partielle Ableitung erster Ordnung einer Funktion ist.
• die geometrische Bedeutung einer partiellen Ableitung erster Ordnung einer Funktion von zwei Variablen verstehen.
• wissen, was eine partielle Ableitung höherer Ordnung ist.
• die gebräuchlichen Schreibweisen für partielle Ableitungen erster und höherer Ordnung kennen.
• partielle Ableitungen erster und höherer Ordnung einer einfacheren Funktion bestimmen können.
• wissen, unter welchen Bedingungen die Reihenfolge der Differentiation bei partiellen Ableitungen höherer Ordnung vertauschbar ist.
• wissen und verstehen, was die Tangentialebene in einem Punkt des Grafen einer Funktion von zwei Variablen ist.
• die allgemeine Form der Gleichung der Tangentialebene in einem Punkt des Grafen einer Funktion von zwei Variablen herleiten können.
• die Gleichung der Tangentialebene in einem gegebenen Punkt des Grafen einer gegebenen einfacheren Funktion von zwei Variablen bestimmen können.
• wissen und verstehen, was ein Differential einer Funktion von einer Variablen ist.
• wissen und verstehen, inwiefern das Differential einer Funktion von einer Variablen näherungsweise eine Funktionswertänderung beschreibt.
• wissen und verstehen, was ein totales Differential einer Funktion von mehreren Variablen ist.
• den Zusammenhang zwischen dem totalen Differential einer Funktion von zwei Variablen und der Tangentialebene kennen und verstehen.
• wissen und verstehen, inwiefern das totale Differential einer Funktion von mehreren Variablen näherungsweise eine Funktionswertänderung beschreibt.
• das totale Differential einer einfacheren Funktion von mehreren Variablen bestimmen können.
• Näherungen von Funktionswertänderungen mit Hilfe des totalen Differentials bestimmen können.
• wissen und verstehen, was die Richtungsableitung einer Funkton von mehreren Variablen ist.
• wissen und verstehen, was der Gradient einer Funktion von mehreren Variablen ist.
• den Gradienten einer Funktion von mehreren Variablen bestimmen können.
• die Richtungsableitung einer Funktion von mehreren Variablen als Skalarprodukt des Gradienten und des in die entsprechende Richtung zeigenden Einheitsvektors verstehen.
• wissen und verstehen, dass der Gradient einer Funktion von mehreren Variablen in die Richtung der grössten Richtungsableitung zeigt.
• wissen und verstehen, dass der Betrag des Gradienten einer Funktion von mehreren Variablen gleich der grössten Richtungsableitung ist.
• wissen und verstehen, dass der Gradient einer Funktion von mehreren Variablen senkrecht zur Höhen-/Nivaulinie bzw. -fläche steht.
• die Richtungsableitung einer Funktion von mehreren Variablen bestimmen können.
• den Normalenvektor an einem Punkt des Grafen einer Funktion von zwei Variablen bestimmen können.
• wissen und verstehen, was ein Taylor-Polynom einer Funktion ist.
• wissen, was die Hesse-Matrix einer Funktion von zwei Variablen ist.
• die Hesse-Matrix einer Funktion von zwei Variablen an einer bestimmten Stelle bestimmen können.
• das Taylor-Polynom zweiter Ordnung einer Funktion von zwei Variablen an einer bestimmten Stelle bestimmen können.
• ein Taylor-Polynom zweiter Ordnung einer Funktion von zwei Variablen mit Hilfe des Gradienten und der Hesse-Matrix darstellen können.
• die durch Eigenschaften der Hesse-Matrix ausdrückbaren Kriterien kennen, mit denen das Krümmungsverhalten des Grafen einer Funktion von zwei Variablen an einer bestimmten Stelle beurteilt werden kann.
• das Krümmungsverhalten des Grafen einer Funktion von zwei Variablen an einer bestimmten Stelle mit Hilfe der entsprechenden Hesse-Matrix beurteilen können.
• wissen, was ein unrestringiertes Optimierungsproblem ist.
• wissen und verstehen, was eine relative/lokale Extremstelle einer Funktion von mehreren Variablen ist.
• die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für eine relative/lokale Extremstelle einer Funktion von zwei Variablen kennen.
• ein relatives/lokales Maximum bzw. Minimum einer Funktion von zwei Variablen bestimmen können.
• ein absolutes/globales Maximum bzw. Minimum einer Funktion von zwei Variablen bestimmen können.
• wissen, was ein restringiertes Optimierungsproblem ist.
• ein restringiertes Optimierungsproblem, in welchem eine Funktion von mehreren Variablen unter Berücksichtigung einer Nebenbedingung zu maximieren bzw. minimieren ist, lösen können.
• wissen und verstehen, was lineare Regression ist.
• die Methode der kleinsten Quadrate kennen und verstehen.
• aus vorgegebenen Messpunkten die Koeffizienten einer linearen Regressionsfunktion mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate bestimmen können.
• die zu einer linearen Regression gehörige Normalengleichung aufstellen und lösen können.
• eine lineare Regression mit MATLAB durchführen können.
• wissen und verstehen, was polynomiale Regression ist.
• aus vorgegebenen Messpunkten die Koeffizienten einer polynomialen Regressionsfunktion mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate bestimmen können.
• die zu einer polynomialen Regression gehörige Normalengleichung aufstellen und lösen können.
• eine polynomiale Regression mit MATLAB durchführen können.
• wissen und verstehen, was multivariate Regression ist.
• die zu einer multivariaten Regression gehörige Normalengleichung aufstellen können.
• eine multivariate Regression mit MATLAB durchführen können.

Integralrechnung für Funktionen von mehreren Variablen

• verstehen, wie der Inhalt des Volumens zwischen dem Grafen einer Funktion von zwei Variablen und einem Gebiet in der Variablenebene durch die Summe von Quadervolumeninhalten angenähert werden kann.
• verstehen, wie das Zweifach-Integral einer Funktion von zwei Variablen definiert ist.
• ein Zweifach-Integral einer einfacheren Funktion von zwei Variablen in kartesischen Koordinaten berechnen können.
• wissen und verstehen, unter welchen Voraussetzungen die Integrationsreihenfolge bei der Berechnung eines Zweifach-Integrals vertauscht werden kann.
• den Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten kennen und verstehen.
• ein Zweifach-Integral einer einfacheren Funktion von zwei Variablen in Polarkoordinaten berechnen können.
• den Volumeninhalt eines einfacheren Körpers, welcher durch den Grafen einer Funktion von zwei Variablen und einem Gebiet in der Variablenebene begrenzt wird, mit Hilfe eines Zweifach-Integrals bestimmen können.
• den Oberflächeninhalt eines einfacheren Körpers, welcher durch den Grafen einer Funktion von zwei Variablen und einem Gebiet in der Variablenebene begrenzt wird, mit Hilfe eines Zweifach-Integrals bestimmen können.
• ein Dreifach-Integral einer Funktion von drei Variablen in Analogie zu einem Zweifach-Integral einer Funktion von zwei Variablen verstehen.
• ein Dreifach-Integral einer einfacheren Funktion von drei Variablen in kartesischen Koordinaten berechnen können.
• wissen und verstehen, unter welchen Voraussetzungen die Integrationsreihenfolge bei der Berechnung eines Dreifach-Integrals verändert werden kann.
• den Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten kennen und verstehen.
• Koordinaten eines Punktes von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten umformen können.
• ein Dreifach-Integral einer einfacheren Funktion von drei Variablen in Zylinderkoordinaten berechnen können.
• den Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten kennen und verstehen.
• Koordinaten eines Punktes von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten umformen können.
• Koordinaten eines Punktes von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten, in Zylinderkoordinaten umformen können.
• ein Dreifach-Integral einer einfacheren Funktion von drei Variablen in Kugelkoordinaten berechnen können.
• die Masse eines einfacheren Körpers mit Hilfe eines Dreifach-Integrals der Massendichte bestimmen können.
• wissen und verstehen, wie der Schwerpunkt eines Körpers definiert ist.
• den Schwerpunkt eines einfacheren homogenen, inhomogenen Körpers mit Hilfe eines Dreifach-Integrals bestimmen können.
• verstehen, dass der Volumeninhalt eines geeigneten Körpers mit Hilfe eines Dreifach-Integrals bestimmt werden kann.
• den Volumeninhalt eines einfacheren Körpers mit Hilfe eines Dreifach-Integrals bestimmen können.
• verstehen, dass der Flächeninhalt einer geeigneten ebenen Fläche mit Hilfe eines Zweifach-Integrals bestimmt werden kann.
• den Flächeninhalt einer einfacheren ebenen Fläche mit Hilfe eines Zweifach-Integrals bestimmen können.
• wissen und verstehen, was das Massenträgheitsmoment eines Körpers ist.
• das Massenträgheitsmoment eines einfacheren homogenen, inhomogenen Körpers bezüglich einer vorgegebenen Drehachse mit Hilfe eines Dreifach-Integrals bestimmen können.

Home