Komplexe Zahlen und lineare Gleichungssysteme (ELA1-K), Systemtechnik NTB, HTW Chur, Thomas Borer, 2018/19

Lernziele

Allgemein

• eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten können.
• eine bekannte oder neue Problemstellung selbstständig bearbeiten und in einer Gruppe diskutieren können.
• sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse und Fähigkeiten erarbeiten können.
• einen bekannten oder neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.
• Erkenntnisse in geeigneter Form darstellen und zusammenfassen können.
• Lösungswege vollständig, übersichtlich und verständlich dokumentieren können.

Vektorrechnung

• wissen und verstehen, was ein Vektor ist.
• den Unterschied zwischen einem Pfeil und einem Vektor verstehen.
• einen Vektor korrekt bezeichnen können.
• wissen, wie die Addition zweier Vektoren definiert ist.
• wissen, was ein Gegenvektor ist.
• wissen, wie die Subtraktion zweier Vektoren definiert ist.
• wissen, wie die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl definiert ist.
• wissen, was ein Nullvektor ist.
• wissen, was Komponenten eines Vektors sind.
• einen Vektor in Komponenten zerlegen können.
• wissen, wie Vektoren analytisch, d.h. durch Koordinaten beschrieben werden.
• einen Vektor korrekt mit Koordinaten schreiben können.
• Vektoren, die durch ihre Koordinaten gegeben sind, addieren, subtrahieren, mit Zahlen multiplizieren können.
• wissen und verstehen, was eine Linearkombination von Vektoren ist.
• einen Vektor als Linearkombination gegebener Vektoren schreiben können.
• wissen, was der Betrag eines Vektors ist.
• den Betrag eines Vektors, der durch seine Koordinaten gegeben ist, bestimmen könnnen.
• wissen, was ein Einheitsvektor ist.
• den Einheitsvektor in eine gegebene Richtung bestimmen können.
• die Rechenregeln der Grundoperationen der Vektorrechnung kennen und anwenden können.
• die Grundoperationen der Vektorrechnung zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• wissen, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert ist.
• den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt zweier Vektoren und deren Orthogonalität verstehen.
• einen Vektor mit Hilfe des Skalarproduktes senkrecht auf eine gegebene Richtung projizieren können.
• die Rechenregeln des Skalarproduktes kennen und anwenden können.
• das Skalarprodukt zweier Vektoren, die durch ihre Koordinaten gegeben sind, bestimmen können.
• das Skalarprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• wissen, wie das Vektorprodukt zweier Vektoren definiert ist.
• die geometrische Bedeutung eines Vektorproduktes verstehen.
• die Rechenregeln des Vektorproduktes kennen und anwenden können.
• das Vektorprodukt zweier Vektoren, die durch ihre Koordinaten gegeben sind, bestimmen können.
• wissen und verstehen, was ein Drehmoment ist.
• das Vektorprodukt zur Bestimmung eines Drehmomentes anwenden können.
• das Vektorprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• Grundoperationen mit MATLAB ausführen können.
• mit MATLAB Vektoren definieren und Vektoroperationen durchführen können.

Lineare Gleichungssysteme

• wissen und verstehen, was ein lineares Gleichungssystem ist.
• die Äquivalenzumformungen beim Auflösen eines linearen Gleichungssystems kennen und verstehen.
• das Gauss-Verfahren zum Auflösen eines linearen Gleichungssystems kennen und verstehen.
• ein lineares Gleichungssystem mit dem Gauss-Verfahren auflösen können.
• das Gauss-Jordan Verfahren zum Auflösen eines linearen Gleichungssystems kennen und verstehen.
• die reduzierte Stufenform eines linearen Gleichungssystems kennen.
• die reduzierte Stufenform eines linearen Gleichungssystems mit dem Gauss-Jordan-Verfahren bestimmen können.
• aus der reduzierten Stufenform eines linearen Gleichungssystems die Lösungen des Gleichungssystems bestimmen können.
• einfachere Gleichungssysteme, die eine nicht-lineare Gleichung enthalten, auflösen können.
• einfachere technische Situationen durch ein lineares Gleichungssystem modellieren können.
• wissen und verstehen, was eine Matrix ist.
• die Begriffe, Matrixelement, Zeilen, Spalten, Zeilenvektor, Spaltenvektor kennen und verstehen.
• wissen, wie die Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor definiert ist.
• wissen und verstehen, unter welcher Bedingung eine Matrix mit einem Vektor multipliziert werden kann.
• eine Matrix mit einem Vektor multiplizieren können.
• die Darstellung eines linearen Gleichungssystems in Matrixform kennen und verstehen.
• die Begriffe Koeffizientenmatrix und Konstantenvektor kennen und verstehen.
• ein lineares Gleichungssystem in Matrixform darstellen können.
• mit MATLAB Matrizen definieren können.
• mit MATLAB Matrizen mit Vektoren multiplizieren können.
• mit MATLAB ein lineares Gleichungssystem lösen können.
• in MATLAB ein m-Skript-File erstellen können.

Harmonische Schwingungen

• die Definitionen der trigonometrischen Grundfunktionen sin, cos, tan, cot am Einheitskreis kennen.
• die Funktionswerte der trigonometrischen Grundfunktionen für einfache Argumente exakt bestimmen können.
• die Grafen der trigonometrischen Grundfunktionen kennen und verstehen.
• wissen und verstehen, dass die trigonometrischen Grundfunktionen periodisch sind.
• den Einfluss von Variablentransformationen auf den Grafen einer Funktion kennen und verstehen.
• den Grafen einer einfacheren trigonometrischen Funktion skizzieren können.
• wissen, was eine harmonische Schwingung ist.
• die mathematische Beschreibung einer harmonischen Schwingung als Sinus-Funktion kennen und verstehen.
• die Begriffe "Amplitude", "Periode", "Frequenz", "Kreisfrequenz" und "Phasenverschiebung" verstehen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• den Einfluss einer Verschiebung, Skalierung auf die Amplitude, Periode und Phasenverschiebung einer trigonometrischen Funktion kennen und verstehen.
• die Amplitude, Periode und Phasenverschiebung einer Sinus-Funktion bestimmen können.
• die Additionstheoreme für die Sinus- und Cosinus-Funktion kennen und anwenden können.
• wissen und verstehen, dass die Addition zweier Sinus-Funktionen gleicher Frequenz eine Sinus-Funktion dieser gleichen Frequenz ergibt.
• die Amplitude und die Phasenverschiebung einer harmonischen Schwingung bestimmen können, die sich aus der Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz ergibt.
• mit MATLAB den Grafen einer Funktion zeichen können.
• beim Plotten mit MATLAB verschiedene Darstellungsoptionen gezielt einsetzen können.
• das Newton-Verfahren kennen und verstehen.
• die Nullstellen einer nichtlinearen Funktion mit Hilfe des Newton-Verfahrens näherungsweise bestimmen können.
• die Nullstellen einer nichtlinearen Funktion näherungsweise aus dem mit MATLAB gezeichneten Funktionsgrafen ablesen können.
• mit MATLAB die Nullstellen einer nichtlinearen Funktion bestimmen können.

Komplexe Zahlen

• die Menge der komplexen Zahlen als Erweiterung der Menge der reellen Zahlen verstehen.
• wissen, dass die Menge der komplexen Zahlen die grösstmögliche Zahlenmenge und algebraisch abgeschlossen ist.
• die kartesische Form einer komplexen Zahl kennen und verstehen.
• die grafische Darstellung einer komplexen Zahl in der Gauss'schen Ebene kennen und verstehen.
• komplexe Zahlen in der Gauss'schen Ebene darstellen können.
• die Begriffe imaginäre Einheit, Realteil, Imaginärteil, Betrag, konjugiert komplexe Zahl kennen und verstehen.
• wissen, was die imaginäre Einheit ist.
• den Realteil, Imaginärteil, Betrag einer komplexen Zahl bestimmen können.
• die konjugiert komplexe Zahl einer komplexen Zahl bestimmen können.
• komplexe Zahlen in ihrer kartesischen Form addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren können.
• den Begriff Zeiger kennen und verstehen.
• die Addition zweier komplexer Zahlen als vektorielle Addition der entsprechenden Zeiger in der Gauss'schen Ebene verstehen.
• die trigonometrische Form einer komplexen Zahl kennen und verstehen.
• eine komplexe Zahl von der kartesischen in die trigonometrische Form und umgekehrt umwandeln können.
• die Euler'sche Formel kennen und anwenden können.
• den Beweis der Euler'schen Formel mit Hilfe von Potenzreihen verstehen.
• die Exponentialform einer komplexen Zahl kennen und verstehen.
• eine komplexe Zahl von der kartesischen Form in die Exponentialform und umgekehrt umwandeln können.
• komplexe Zahlen in ihrer Exponentialform multiplizieren, dividieren können.
• das Verhalten der Beträge und Argumente bei der Multiplikation und Division komplexer Zahlen kennen und verstehen.
• einfachere lineare Gleichungen in der Menge der komplexen Zahlen lösen können.
• eine komplexe Zahl in ihrer Exponentialform mit einer reellen Zahl potenzieren können.
• die Lösungsmenge einer elementaren Potenzgleichung kennen, verstehen und bestimmen können.
• eine komplexe Zahl radizieren können.
• wissen und verstehen, was beim Radizieren einer komplexen Zahl der Hauptwert ist, die Nebenwerte sind.
• einfachere Aufgabenstellungen mit komplexen Zahlen in der Gauss'schen Ebene grafisch bearbeiten können.
• die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung in der Menge der komplexen Zahlen kennen, verstehen und bestimmen können.
• wissen und verstehen, was ein Polynom, eine Polynomfunktion ist.
• den Fundamentalsatz der Algebra kennen und verstehen.
• die Linearfaktorzerlegung eines Polynoms kennen und verstehen.
• ein Polynom in Linearfaktoren zerlegen können.
• mit MATLAB komplexe Zahlen definieren und Operationen mit komplexen Zahlen durchführen können.
• mit MATLAB komplexe Zahlen und Operationen mit komplexen Zahlen in der Gauss'schen Ebene darstellen können.

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