Differentialgleichungen (DWW-D), Systemtechnik NTB, HTW Chur, Thomas Borer, 2018/19

Lernziele

Allgemein

• eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten können.
• eine bekannte oder neue Problemstellung selbstständig bearbeiten und in einer Gruppe diskutieren können.
• sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse und Fähigkeiten erarbeiten können.
• einen bekannten oder neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.
• Erkenntnisse in geeigneter Form darstellen und zusammenfassen können.
• Lösungswege vollständig, übersichtlich und verständlich dokumentieren können.

Differentialgleichungen 1. Ordnung

• wissen und verstehen, was eine Differentialgleichung ist.
• wissen, was die Ordnung einer Differentialgleichung ist.
• die Ordnung einer gegebenen Differentialgleichung bestimmen können.
• wissen und verstehen, was die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung ist.
• wissen und verstehen, was eine spezielle/partikuläre Lösung einer Differentialgleichung ist.
• wissen, was ein Anfangs-, Randwertproblem ist.
• wissen und verstehen, was eine autonome Differentialgleichung ist.
• beurteilen können, ob eine gegebene Differentialgleichung autonom ist.
• überprüfen können, ob eine gegebene Funktion Lösung einer gegebenen Differentialgleichung, eines gegebenen Anfangs-, eines gegebenen Randwertproblems ist.

• die Notwendigkeit von numerischen Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen verstehen.
• das explizite Euler-Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswertproblems erster Ordnung kennen, verstehen und von Hand anwenden können.
• eine MATLAB-Funktion programmieren können.
• das explizite Euler-Verfahren in MATLAB implementieren können.
• ein Anfangswertproblem erster Ordnung mit dem in MATLAB selber implementierten expliziten Euler-Verfahren näherungsweise lösen können.
• Diskretisierungsstudien ausführen können, d.h. bei der Anwendung des expliziten Euler-Verfahrens in MATLAB die Schrittweite unter Berücksichtigung gegebener Anforderungen geeignet einstellen können.

• wissen und verstehen, was eine elementar integrierbare Differentialgleichung ist.
• beurteilen können, ob eine gegebene Differentialgleichung elementar integrierbar ist.
• einfachere elementar integrierbare Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme durch elementare Integration lösen können.
• wissen und verstehen, was eine separierbare Differentialgleichung ist.
• beurteilen können, ob eine gegebene Differentialgleichung separierbar ist.
• separierbare Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme durch Separation der Variablen lösen können.
• wissen und verstehen, was eine lineare Differentialgleichung ist.
• beurteilen können, ob eine gegebene Differentialgleichung linear ist.
• wissen, was eine homogene, inhomogene lineare Differentialgleichung ist.
• wissen und verstehen, dass sich die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung aus der allgemeinen Lösung der homogenen und irgend einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zusammensetzt.
• wissen und verstehen, dass jede homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung durch Separation der Variablen gelöst werden kann.
• homogene lineare Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme erster Ordnung durch Separation der Variablen lösen können.
• inhomogene lineare Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme erster Ordnung mit Hilfe der Variation der Konstanten lösen können.
• mit Hilfe einer Tabelle den richtigen Ansatz für eine partikuläre Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten formulieren können.
• inhomogene lineare Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe eines Ansatzes für eine partikuläre Lösung bestimmen können.
• einfachere dynamische Vorgänge aus der Natur und der Technik durch eine Differentialgleichung, ein Anfangs- oder ein Randwertproblem modellieren können.

Differentialgleichungen höherer Ordnung

• wissen und verstehen, dass sich die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung höherer Ordnung aus der allgemeinen Lösung der homogenen und irgend einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zusammensetzt.
• grundlegende Eigenschaften der Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten kennen und verstehen.
• wissen und verstehen, was Basislösungen einer homogenen lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten sind.
• wissen und verstehen, dass sich die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten als Linearkombination zweier linear unabhängiger Basislösungen darstellen lässt.
• die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten mit einem Exponentialansatz bestimmen können.
• wissen und verstehen, was das charakteristische Polynom, die charakteristische Gleichung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist.
• die drei Fälle für die Lösungen der charakteristischen Gleichung kennen und deren Bedeutung für die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten kennen und verstehen.
• mit Hilfe einer Tabelle den richtigen Ansatz für eine partikuläre Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten formulieren können.
• die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe eines Ansatzes für eine partikuläre Lösung bestimmen können.
• homogene und inhomogene Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten lösen können.
• die Differentialgleichung für die Ortsfunktion eines freien gedämpften Federschwingers kennen, verstehen und lösen können.
• bei einem freien Federschwinger die drei Bewegungsfälle für unterschiedlich starke Dämpfung kennen und verstehen.
• aus der Differentialgleichung für die Ortsfunktion eines freien gedämpften Federschwingers relevante Schwingungsgrössen bestimmen können.
• aus der Differentialgleichung für die Ortsfunktion eines freien gedämpften Federschwingers beurteilen können, welcher Bewegungsfall vorliegt.
• wissen, dass in Analogie zu mechanischen Schwingungen bei elektrischen Stromkreisen elektrische Schwingungen auftreten können.

• wissen und verstehen, was ein Differentialgleichungssystem ist.
• eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit Hilfe einer Substitution in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung umformen können.
• das Grundprinzip des Runga-Kutta-Verfahrens zur Lösung eines Anfangswertproblems erster Ordnung kennen.
• ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit MATLAB näherungsweise lösen können.
• ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit dem im MATLAB implementierten Solver ode45 näherungsweise lösen können.
• ein Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung mit Hilfe einer Substitution in ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung umformen können.

• wissen und verstehen, was ein Fixpunkt einer autonomen Differentialgleichung 1. Ordnung ist.
• die Fixpunkte einer autonomen Differentialgleichung 1. Ordnung bestimmen können.
• wissen und verstehen, was ein Phasenraum ist.
• eine autonome Differentialgleichung 1. Ordnung im Phasenraum darstellen können.
• die verschiedenen Fälle für die Stabilität eines Fixpunktes einer autonomen Differentialgleichung 1. Ordnung kennen und verstehen.
• die Stabilität der Fixpunkte einer autonomen Differentialgleichung 1. Ordnung im Phasenraum beurteilen können.
• die Grundzüge von Steuerung und Regelung kennen.
• Steuerungen und Regelungen bei einfachen, durch eine Differentialgleichung 1. Ordnung beschriebene Vorgänge berechnen können.

Laplace-Transformation und LTI-Systeme

• wissen, wie die Laplace-Transformation definiert ist.
• die Laplace-Transformation als Abbildung zwischen zwei Funktionenräumen verstehen.
• das Lösen eines Anfangswertproblems und die Beschreibung eines LTI-Systems als Anwendungen der Laplace-Transformation kennen.
• die Laplace-Transformierte einer einfacheren rechtsseitigen Funktion von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
• verstehen, dass der Konvergenzbereich ein Bestandteil einer Laplace-Transformierten ist.
• wissen, wie die Sprungfunktion definiert ist.
• ausgewählte Funktionen durch die Sprungfunktion darstellen können.
• die Laplace-Transformierte einer einfacheren rechtsseitigen Funktion mit Hilfe einer Laplace-Transformationstabelle bestimmen können.
• eine rechtsseitige Funktion aus ihrer Laplace-Tranformierten mit Hilfe einer Laplace-Transformationstabelle bestimmen können.
• den Linearitätssatz, den Ähnlichkeitssatz, die Verschiebungssätze, den Dämpfungssatz, die Ableitungssätze, zur Bestimmung der Laplace-Transformierten einer einfacheren rechtsseitigen Funktion bzw. zur Bestimmung einer rechtsseitigen Funktion aus ihrer Laplace-Transformierten anwenden können.
• bei der Laplace-Rücktransformation einfacherer gebrochenrationaler Laplace-Transformierten die Methoden Polynomdivision, Partialbruchzerlegung und quadratisches Ergänzen korrekt anwenden können.
• die Grenzwertsätze zur Bestimmung eines entsprechenden Grenzwertes einer einfacheren rechtsseitigen Funktion oder ihrer Laplace-Transformierten anwenden können.
• ein Anfangswertproblem, welches eine lineare Differentialgleichung erster oder zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten enthält, mit Hilfe der Laplace-Transformation lösen können.

• wissen und verstehen, was ein LTI-System ist.
• wissen und verstehen, was die Übertragungsfunktion eines LTI-Systems ist.
• bei einem LTI-System den Zusammenhang zwischen den Laplace-Transformierten von Ein- und Ausgangsfunktion und der Übertragungsfunktion des LTI-Systems kennen.
• aus der linearen, autonomen Differentialgleichung, welche die Ein- und Ausgangsfunktion eines LTI-Systems verknüpft, die Übertragungsfunktion des LTI-Systems bestimmen können.
• wissen und verstehen, was die Sprungantwort eines LTI-Systems ist.
• aus der Übertragungsfunktion eines LTI-Systems die Sprungantwort des LTI-Systems bestimmen können.
• wissen, wie die Stossfunktion (Dirac'sche Delta-"Funktion") definiert ist.
• wissen und verstehen, was die Stossantwort eines LTI-Systems ist.
• aus der Übertragungsfunktion eines LTI-Systems die Stossantwort des LTI-Systems bestimmen können.
• ein LTI-System mit gegebener Übertragungsfunktion mit Simulink modellieren können.
• bei einem LTI-System mit gegebener Übertragungsfunktion die zu einer gegebenen Eingangsfunktion gehörige Ausgangsfunktion mit Simulink simulieren können.
• die Differentialgleichung für die Ortsfunktion eines gedämpften Federschwingers, an welchem eine äussere periodische Kraft angreift, kennen und verstehen.
• die physikalische Interpretation der allgemeinen und der stationären Lösung im Falle schwacher Dämpfung kennen und verstehen.
• die Frequenzabhängigkeit der Amplitude der stationären Lösung kennen und verstehen.
• das Phänomen der Resonanz kennen und verstehen.
• die Resonanzfrequenz kennen und bestimmen können.
• die verschiedenen Fälle für die Stabilität eines LTI-Systems kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen der Lage der Pole der Übertragungsfunktion eines LTI-Systems und der Stabilität des LTI-Systems kennen und verstehen.
• die Polstellen einer gebrochenrationalen Übertragungsfunktion eines LTI-Systems bestimmen können.
• die Stabilität eines LTI-Systems aus der Lage der Polstellen der Übertragungsfunktion beurteilen können.
• die Sprungantwort eines LTI-Systems aus der Kenntnis der Polstellen der Übertragungsfunktion skizzieren können.

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