Mehrdimensionale Analysis (MAS-A), Systemtechnik NTB, HTW Chur, Thomas Borer, 2017/18

Lernziele

Allgemein

• eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten können.
• eine bekannte oder neue Problemstellung selbstständig bearbeiten und in einer Gruppe diskutieren können.
• sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse und Fähigkeiten erarbeiten können.
• einen bekannten oder neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.
• Erkenntnisse in geeigneter Form darstellen und zusammenfassen können.
• Lösungswege vollständig, übersichtlich und verständlich dokumentieren können.

Funktionen von mehreren Variablen

• wissen und verstehen, was eine Funktion von zwei, drei oder mehr Variablen ist.
• eine Funktion von mehreren Variablen analytisch darstellen können.
• wissen und verstehen, was eine explizite/implizite Darstellung einer Funktion ist.
• wissen und verstehen, dass der Graf einer Funktion von zwei Variablen eine Fläche ist.
• den Grafen einer Funktion von zwei Variablen mit MATLAB zeichnen können.
• beurteilen können, wie ein Punkt bezüglich des Grafen einer Funktion von zwei Variablen liegt.
• den grösstmöglichen Definitionsbereich einer Funktion von zwei Variablen bestimmen können.
• wissen und verstehen, was eine Höhen-/Niveaulinie einer Funktion von zwei Variablen ist.
• die Niveaulinien einer einfacheren Funktion von zwei Variablen von Hand bestimmen, beschreiben und skizzieren können.
• die Niveaulinien einer Funktion von zwei Variablen mit MATLAB zeichnen können.
• wissen und verstehen, was eine Höhen-/Niveaufläche einer Funktion von drei Variablen ist.
• die Niveauflächen einer einfacheren Funktion von drei Variablen von Hand bestimmen, beschreiben und skizzieren können.

Partielle Ableitung

• wissen und verstehen, was eine partielle Ableitung erster Ordnung einer Funktion ist.
• die geometrische Bedeutung einer partiellen Ableitung erster Ordnung einer Funktion von zwei Variablen verstehen.
• wissen, was eine partielle Ableitung höherer Ordnung ist.
• die gebräuchlichen Schreibweisen für partielle Ableitungen erster und höherer Ordnung kennen.
• partielle Ableitungen erster und höherer Ordnung einer einfacheren Funktion bestimmen können.
• wissen, unter welchen Bedingungen die Reihenfolge der Differentiation bei partiellen Ableitungen höherer Ordnung vertauschbar ist.

Anwendungen der partiellen Ableitung

• eine einfachere Funktion von zwei Variablen, die von einem Parameter abhängen, direkt nach dem Parameter ableiten können.
• die verallgemeinerte Kettenregel für die Ableitung einer Funktion von mehreren Variablen, die von einem Parameter abhängen, kennen.
• eine einfachere Funktion von zwei Variablen, die von einem Parameter abhängen, mit Hilfe der verallgemeinerten Kettenregel nach dem Parameter ableiten können.
• wissen und verstehen, was die Tangentialebene in einem Punkt des Grafen einer Funktion von zwei Variablen ist.
• die allgemeine Form der Gleichung der Tangentialebene in einem Punkt des Grafen einer Funktion von zwei Variablen herleiten können.
• die Gleichung der Tangentialebene in einem gegebenen Punkt des Grafen einer gegebenen einfacheren Funktion von zwei Variablen bestimmen können.

• wissen und verstehen, was ein Differential einer Funktion von einer Variablen ist.
• wissen und verstehen, inwiefern das Differential einer Funktion von einer Variablen näherungsweise eine Funktionswertänderung beschreibt.
• wissen und verstehen, was ein totales Differential einer Funktion von mehreren Variablen ist.
• wissen und verstehen, inwiefern das totale Differential einer Funktion von mehreren Variablen näherungsweise eine Funktionswertänderung beschreibt.
• das totale Differential einer einfacheren Funktion von mehreren Variablen bestimmen können.
• Näherungen von Funktionswertänderungen mit Hilfe des totalen Differentials bestimmen können.

• wissen und verstehen, was eine relative/lokale Extremstelle einer Funktion von mehreren Variablen ist.
• die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für eine relative/lokale Extremstelle einer Funktion von zwei Variablen kennen.
• ein relatives/lokales Maximum bzw. Minimum einer Funktion von zwei Variablen bestimmen können.
• ein absolutes/globales Maximum bzw. Minimum einer Funktion von zwei Variablen bestimmen können.
• ein Extremalproblem, in welchem eine Funktion von mehreren Variablen unter Berücksichtigung einer Nebenbedingung zu maximieren bzw. minimieren ist, durch Einsetzen der Nebenbedingung in die zu maximierende bzw. minimierende Funktion lösen können.

• wissen und verstehen, was die Richtungsableitung einer Funkton von mehreren Variablen ist.
• wissen und verstehen, was der Gradient einer Funktion von mehreren Variablen ist.
• den Gradienten einer Funktion von mehreren Variablen bestimmen können.
• die Richtungsableitung einer Funktion von mehreren Variablen als Skalarprodukt des Gradienten und des in die entsprechende Richtung zeigenden Einheitsvektors verstehen.
• wissen und verstehen, dass der Gradient einer Funktion von mehreren Variablen in die Richtung der grössten Richtungsableitung zeigt.
• wissen und verstehen, dass der Betrag des Gradienten einer Funktion von mehreren Variablen gleich der grössten Richtungsableitung ist.
• wissen und verstehen, dass der Gradient einer Funktion von mehreren Variablen senkrecht zur Höhen-/Nivaulinie bzw. -fläche steht.
• die Richtungsableitung einer Funktion von mehreren Variablen bestimmen können.
• wissen und verstehen, was ein Lagrange-Mutliplikator ist.
• die Methode des Lagrange-Multiplikators kennen und verstehen.
• ein Extremalproblem, in welchem eine Funktion von mehreren Variablen unter Berücksichtigung einer Nebenbedingung zu maximieren bzw. minimieren ist, mit Hilfe der Methode des Lagrange-Multiplikators lösen können.

Zweifachintegrale

• verstehen, wie das Volumen zwischen dem Grafen einer Funktion von zwei Variablen und einem Gebiet in der Variablenebene durch die Summe von Quadervolumina angenähert werden kann.
• verstehen, wie das Doppelintegral einer Funktion von zwei Variablen definiert ist.
• ein Doppelintegral einer einfacheren Funktion von zwei Variablen in kartesischen Koordinaten berechnen können.
• wissen und verstehen, unter welchen Voraussetzungen die Integrationsreihenfolge bei der Berechnung eines Doppelintegrals vertauscht werden kann.
• ein geeignetes Doppelintegral in kartesischen Koordinaten in ein Doppelintegral mit vertauschter Integrationsreihenfolge umwandeln können.
• den Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten kennen und verstehen.
• Koordinaten eines Punktes bzw. eine Gleichung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umformen können.
• ein Doppelintegral einer einfacheren Funktion von zwei Variablen in Polarkoordinaten berechnen können.
• ein geeignetes Doppelintegral in kartesischen Koordinaten in ein Doppelintegral in Polarkoordinaten umwandeln können.
• das Volumen eines einfacheren Körpers, welcher durch den Grafen einer Funktion von zwei Variablen und einem Gebiet in der Variablenebene begrenzt wird, mit Hilfe eines Doppelintegrals bestimmen können.
• verstehen, dass der Flächeninhalt einer geeigneten ebenen Figur mit Hilfe eines Doppelintegrals bestimmt werden kann.
• den Flächeninhalt einer einfacheren ebenen Figur mit Hilfe eines Doppelintegrals bestimmen können.
• wissen und verstehen, wie der Schwerpunkt eines Körpers definiert ist.
• den Schwerpunkt eines flächenhaften homogenen Körpers mit konstanter Dicke mit Hilfe eines Doppelintegrals bestimmen können.

Dreifachintegrale

• ein Dreifachintegral einer Funktion von drei Variablen in Analogie zu einem Doppelintegral einer Funktion von zwei Variablen verstehen.
• ein Dreifachintegral einer einfacheren Funktion von drei Variablen in kartesischen Koordinaten berechnen können.
• wissen und verstehen, unter welchen Voraussetzungen die Integrationsreihenfolge bei der Berechnung eines Dreifachintegrals verändert werden kann.
• ein geeignetes Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten in ein Dreifachintegral mit veränderter Integrationsreihenfolge umwandeln können.
• den Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten kennen und verstehen.
• Koordinaten eines Punktes bzw. eine Gleichung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten umformen können.
• ein Dreifachintegral einer einfacheren Funktion von drei Variablen in Zylinderkoordinaten berechnen können.
• den Zusammenhang zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten kennen und verstehen.
• Koordinaten eines Punktes bzw. eine Gleichung von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten umformen können.
• ein Dreifachintegral einer einfacheren Funktion von drei Variablen in Kugelkoordinaten berechnen können.
• ein geeignetes Dreifachintegral in kartesischen Koordinaten in ein Dreifachintegral in Kugelkoordinaten umwandeln können.
• verstehen, dass der Volumeninhalt eines geeigneten Körpers mit Hilfe eines Dreifachintegrals bestimmt werden kann.
• den Volumeninhalt eines einfacheren Körpers mit Hilfe eines Dreifachintegrals bestimmen können.
• den Schwerpunkt eines einfacheren homogenen Körpers mit Hilfe eines Dreifachintegrals bestimmen können.
• wissen und verstehen, was das Massenträgheitsmoment eines Körpers ist.
• das Massenträgheitsmoment eines einfacheren homogenen Körpers bezüglich einer vorgegebenen Drehachse mit Hilfe eines Dreifachintegrals bestimmen können.

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