Integralrechnung, Systemtechnik NTB, HTW Chur, Thomas Borer, 2015/16

Lernziele

Allgemein

• eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten können.
• eine Problemstellung selbstständig und in einer Gruppe diskutieren und bearbeiten können.
• sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse und Fähigkeiten erarbeiten können.
• einen bekannten oder neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.
• Erkenntnisse in geeigneter Form zusammenfassen können.
• Lösungswege vollständig, übersichtlich und verständlich dokumentieren können.

Elementare Integration

• (Lernziele zum Thema "Integralrechnung für Polynome" im Kurs DKM-D)
• Stammfunktionen, das unbestimmte Integral, das bestimmte Integral einer Grundfunktion mit Hilfe einer Tabelle mit Grundintegralen bestimmen können.
• Stammfunktionen, das unbestimmte Integral, das bestimmte Integral einer Funktion mit Hilfe einer Integraltafel bestimmen können.
• die Faktor- und Summenregel anwenden können.
• den Flächeninhalt einer Fläche zwischen dem Grafen einer Funktion und der Abszisse mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.

Integrationsmethoden

• verstehen, dass die Substitutionsmethode auf einer Verknüpfung zweier Funktionen beruht.
• den Zusammenhang zwischen der Substitutionsmethode und der Kettenregel der Differentialrechnung verstehen.
• einfachere Integrale mit Hilfe einer geeigneten Substitution bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der partiellen Integration und der Produktregel der Differentialrechnung verstehen.
• einfachere Integrale mit Hilfe der partiellen Integration bestimmen können.
• die Partialbruchzerlegung eines Bruches als Umkehrung des algebraischen Gleichnamigmachens und Zusammenfassens von Brüchen verstehen.
• einfachere gebrochenrationale Funktionen mit Hilfe der Partialbruchzerlegung integrieren können.
• einfachere Integrale mit Hilfe einer geeigneten Integrationsmethode bestimmen können.

Uneigentliche Integrale

• verstehen, was ein uneigentliches Integral ist.
• beurteilen können, ob ein gegebenes uneigentliches Integral existiert oder nicht.
• ein uneigentliches Integral bestimmen können.

Extremalprobleme

• relative/lokale Maxima und Minima einer Funktion mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmen können.
• absolute/globale Maxima und Minima einer Funktion bestimmen können.
• die Differentialrechnung zur Lösung von Extremalproblemen anwenden können.

Taylorpolynome

• wissen und verstehen, wie eine Funktion unter bestimmten Voraussetzungen in der Umgebung eines Abszissenwertes durch eine Polynomfunktion angenähert werden kann.
• wissen und verstehen, was ein Mac-Laurin-Polynom einer Funktion ist.
• ein Mac-Laurin-Polynom einer gegebenen Funktion bestimmen können.
• wissen und verstehen, was ein Taylor-Polynom einer Funktion ist.
• ein Taylor-Polynom einer gegebenen Funktion bestimmen können.
• eine gegebene Funktion mit Hilfe eines Taylorpolynoms linearisieren können.
• mit Hilfe eines Taylorpolynoms einen Näherungswert für einen schwierig zu bestimmenden exakten Wert bestimmen können.

Anwendungen der Integralrechnung

• den linearen und den quadratischen Mittelwert einer Funktion bestimmen können.
• die geometrische Bedeutung des linearen Mittelwertes einer Funktion verstehen.
• das Volumen eines Rotationskörpers, welcher durch Rotation eines Kurvenstückes um eine Koordinatenachse zustande kommt, bestimmen können.
• das Volumen eines Körpers, dessen Querschnittsfläche senkrecht zu einer Koordinatenachse bekannt ist, bestimmen können.
• die Bogenlänge einer ebenen Kurve bestimmen können.
• die Mantelfläche eines Rotationskörpers bestimmen können.
• wissen und verstehen, wie das Gravitationszentrum, der Massenmittelpunkt, der Schwerpunkt eines Körpers definiert ist.
• den Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers bestimmen können.
• den Flächenschwerpunkt, d.h. den Schwerpunkt eines flächenhaften homogenen Körpers bestimmen können.
• das Massenträgheitsmoment eines einfacheren homogenen Körpers bezüglich einer gegebenen Achse bestimmen können.

Kurven in Parameterdarstellung (Selbststudium)

• die Parameterdarstellung einer ebenen bzw. räumlichen Kurve verstehen.
• eine ebene bzw. räumliche Kurve parametrisieren können.
• eine parametrisierte Kurve mit MATLAB/Octave grafisch darstellen können.
• wissen und verstehen, wie man bei einer parametrisierten Kurve durch einmaliges bzw. zweimaliges Differenzieren eines Ortsvektors den Geschwindigkeits- bzw. Beschleunigungsvektor bestimmt.
• mit MATLAB/Octave differenzieren und integrieren können.
• angewandte Probleme (z.B. die Kurve, auf welcher sich ein Roboter bewegt) von Hand und in komplexen Situationen mit MATLAB/Octave bewältigen können.

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