Differentialgleichungen (DWW-D), Systemtechnik NTB, HTW Chur, Thomas Borer, 2014/15

Lernziele

Allgemein

• eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten können.
• eine bekannte oder neue Problemstellung selbstständig bearbeiten und in einer Gruppe diskutieren können.
• sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse und Fähigkeiten erarbeiten können.
• einen bekannten oder neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.
• Erkenntnisse in geeigneter Form darstellen und zusammenfassen können.
• Lösungswege vollständig, übersichtlich und verständlich dokumentieren können.

Definition, Klassifikation, Beispiele

• wissen und verstehen, was eine Differentialgleichung ist.
• wissen, was die Ordnung einer Differentialgleichung ist.
• wissen und verstehen, was die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung ist.
• wissen und verstehen, was eine spezielle/partikuläre Lösung einer Differentialgleichung ist.
• wissen und verstehen, was ein Anfangswertproblem ist.
• wissen und verstehen, was ein Randwertproblem ist.
• wissen und verstehen, was eine lineare Differentialgleichung ist.
• wissen und verstehen, was eine homogene bzw. inhomogene Differentialgleichung ist.
• wissen und verstehen, was eine Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten ist.
• wissen und verstehen, was eine separierbare Differentialgleichung ist.
• eine gegebene Differentialgleichung bezüglich der Eigenschaften Ordnung, Linearität, Homogeniät, Konstanz der Koeffizienten und Separierbarkeit klassieren können.
• ein Anfangswertproblem als solches erkennen können.
• ein Randwertproblem als solches erkennen können.
• überprüfen können, ob eine gegebene Funktion Lösung einer gegebenen Differentialgleichung ist.
• einfachere dynamische Vorgänge aus der Natur und der Technik durch eine Differentialgleichung, ein Anfangs- oder ein Randwertproblem modellieren können.

Elementare Lösungsverfahren

• einfachere Differentialgleichungen, Anfangs- und Randwertprobleme durch elementare Integration lösen können.
• wissen und verstehen, was ein Richtungsfeld einer Differentialgleichung erster Ordnung ist.
• wissen, was ein Linienelement ist.
• das Richtungsfeld einer Differentialgleichung erster Ordnung mit MATLAB zeichnen können.
• von Hand Lösungskurven in ein gegebenes Richtungsfeld einer Differentialgleichung einzeichnen können.
• separierbare Differentialgleichungen lösen können.

Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung

• die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung kennen.
• wissen und verstehen, dass jede homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung durch Separation der Variablen gelöst werden kann.
• eine homogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung durch Separation der Variablen lösen können.
• eine inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit Hilfe der Variation der Konstanten lösen können.
• wissen und verstehen, dass sich die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung aus der allgemeinen Lösung der homogenen und irgend einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zusammensetzt.
• mit Hilfe einer Tabelle den richtigen Ansatz für eine partikuläre Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten formulieren können.
• die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe eines Ansatzes für eine partikuläre Lösung bestimmen können.

Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung

• die allgemeine Form einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung kennen.
• wissen und verstehen, dass sich die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung aus der allgemeinen Lösung der homogenen und irgend einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zusammensetzt.
• grundlegende Eigenschaften der Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten kennen und verstehen.
• wissen und verstehen, was Basislösungen einer homogenen lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten sind.
• wissen und verstehen, dass sich die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten als Linearkombination zweier Basislösungen darstellen lässt.
• die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten mit einem Exponentialansatz bestimmen können.
• wissen und verstehen, was die charakteristische Gleichung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist.
• die drei Fälle für die Lösungen der charakteristischen Gleichung kennen und deren Bedeutung für die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten kennen und verstehen.
• mit Hilfe einer Tabelle den richtigen Ansatz für eine partikuläre Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten formulieren können.
• die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe eines Ansatzes für eine partikuläre Lösung bestimmen können.

Laplace-Transformation

• wissen, wie die Laplace-Transformation definiert ist.
• die Laplace-Transformation als Abbildung zwischen zwei Funktionenräumen verstehen.
• das Lösen eines Anfangswertproblems und die Bestimmung der Übertragungsfunktion eines LTI-Systems als Anwendungen der Laplace-Transformation kennen.
• die Laplace-Transformierte einer einfacheren rechtsseitigen Funktion von Hand und mit Hilfe einer Integraltabelle bestimmen können.
• verstehen, dass der Konvergenzbereich ein Bestandteil einer Laplace-Transformierten ist.
• den zu einer Laplace-Transformierten gehörigen Konvergenzbereich bestimmen können.
• wissen, wie die Sprungfunktion definiert ist.
• wissen und verstehen, wie die Stossfunktion definiert ist.
• Integrale bestimmen können, in welchen die Stossfunktion als Faktor des Integranden auftritt.
• den Linearitätssatz, den Ähnlichkeitssatz, die Verschiebungssätze, den Dämpfungssatz, die Ableitungssätze, die Integrationssätze zur Bestimmung der Laplace-Transformierten einer einfacheren rechtsseitigen Funktion bzw. zur Bestimmung einer rechtsseitigen Funktion aus ihrer Laplace-Transformierten anwenden können.
• die Grenzwertsätze zur Bestimmung eines entsprechenden Grenzwertes einer einfacheren rechtsseitigen Funktion anwenden können.
• wissen, wie die Faltung zweier rechtsseitiger Funktionen definiert ist.
• sich das Faltungsintegral zweier rechtsseitiger Funktionen grafisch vorstellen können.
• die Faltung zweier einfacherer rechtsseitiger Funktionen sowohl grafisch als auch analytisch ausführen können.
• den Faltungssatz zur Bestimmung der Laplace-Transformierten einer einfacheren rechtsseitigen Funktion bzw. zur Bestimmung einer rechtsseitigen Funktion aus ihrer Laplace-Transformierten anwenden können.
• wissen, was die Stossantwort bei einem LTI-System ist.
• bei einem LTI-System den Zusammenhang zwischen Eingang, Ausgang und Stossantwort kennen.
• wissen, was die Übertragungsfunktion bei einem LTI-System ist.
• wissen, was die Sprungantwort bei einem LTI-System ist.
• ein Anfangswertproblem, welches eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten enthält, mit Hilfe der Laplace-Transformation lösen können.

Schwingungen

• die Differentialgleichung für die Ortsfunktion eines freien ungedämpften Federschwingers kennen, verstehen und lösen können.
• die Differentialgleichung eines freien ungedämpften Schwingers aufstellen und lösen können.
• die Umrechnung einer Summe einer Sinus- und einer gleichfrequenten Cosinus-Funktion in eine einzige Sinus-Funktion verstehen und ausführen können.
• die Differentialgleichung für die Ortsfunktion eines freien gedämpften Federschwingers kennen, verstehen und lösen können.
• bei einem freien Schwinger die drei Bewegungsfälle für unterschiedlich starke Dämpfung kennen und verstehen.
• die Differentialgleichung eines freien gedämpften Schwingers aufstellen und lösen können.
• die Differentialgleichung für die Ortsfunktion eines gedämpften Federschwingers, an welchem eine äussere periodische Kraft angreift, kennen, verstehen und lösen können.
• die Zweckmässigkeit eines komplexen Ansatzes für eine partikuläre Lösung verstehen.
• eine partikuläre Lösung mit Hilfe eines komplexen Ansatzes bestimmen können.
• die Frequenzabhängigkeit der Amplitude und der Phase der partikulären Lösung kennen und verstehen.
• das Phänomen der Resonanz kennen und verstehen.
• die Resonanzfrequenz kennen und bestimmen können.
• die physikalische Interpretation der allgemeinen und der partikulären Lösung im Falle schwacher Dämpfung kennen und verstehen.

Rechnergestützte Lösungsverfahren

• die Notwendigkeit von numerischen Verfahren zur Lösung von Differentialgleichungen verstehen.
• das explizite Euler-Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswertproblems erster Ordnung kennen, verstehen und von Hand anwenden können.
• das klassische Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung zur numerischen Lösung eines Anfangswertproblems erster Ordnung kennen, verstehen und von Hand anwenden können.
• ein Anfangswertproblem erster Ordnung mit dem in MATLAB implementierten Solver ode45 lösen können.
• wissen und verstehen, wie eine Differentialgleichung zweiter oder höherer Ordnung auf ein Differentialgleichungssystem erster Ordnung zurückgeführt werden kann.
• ein Anfangswertproblem zweiter Ordnung mit MATLAB lösen können.

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