Lineare Abbildungen, Systemtechnik NTB, HTW Chur, Thomas Borer, 2013/14

Lernziele

Allgemein

• eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten können.
• eine Problemstellung selbstständig und in einer Gruppe diskutieren und bearbeiten können.
• sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse und Fähigkeiten erarbeiten können.
• einen bekannten oder neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.
• Erkenntnisse in geeigneter Form zusammenfassen können.
• Lösungswege vollständig, übersichtlich und verständlich dokumentieren können.

Harmonische Schwingung in komplexer Darstellung

• die mathematische Beschreibung einer harmonischen Schwingung als Sinus-Funktion kennen und verstehen.
• die reelle Zeigerdarstellung einer harmonischen Schwingung kennen und verstehen.
• die komplexe Zeigerdarstellung einer harmonischen Schwingung kennen und verstehen.
• eine harmonische Schwingung als komplexen Zeiger darstellen können.
• die ungestörte Überlagerung von gleichfrequenten harmonischen Schwingungen mit Hilfe der komplexen Zeigerdarstellung ausführen können.

Analytische Geometrie

• wissen, wie das Spatprodukt dreier Vektoren definiert ist.
• die geometrische Bedeutung eines Spatproduktes kennen und verstehen.
• das Spatprodukt dreier Vektoren sowohl komponentenfrei als auch aus den Komponenten der drei Vektoren berechnen können.
• ein Spatprodukt mit Hilfe einer dreireihigen Determinante berechnen können.
• die Rechenregeln für das Spatprodukt kennen und anwenden können.
• den Zusammenhang zwischen dem Spatprodukt dreier Vektoren und deren linearen Unabhängigkeit kennen und verstehen.
• einfachere angewandte Aufgaben mit Hilfe des Spatproduktes bearbeiten können.

• die Parameterdarstellung einer Geraden kennen und verstehen.
• verstehen, was ein Richtungsvektor ist.
• eine Parameterdarstellung einer Geraden bestimmen können.
• die Parameterdarstellung einer Geraden bei der Bearbeitung geometrischer Problemstellungen anwenden können.
• die Koordinatendarstellung/Normalengleichung einer Geraden in der zweidimensionalen Ebene kennen, verstehen und bestimmen können.
• die Herleitung der Formeln zur Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden, des Abstandes zwischen zwei Geraden, des Schnittwinkels zwischen zwei Geraden verstehen.
• den Abstand eines Punktes von einer Geraden sowie den Abstand zweier Geraden bestimmen können.
• den Schnittpunkt und den Schnittwinkel zweier Geraden bestimmen können.

• die Parameterdarstellung einer Ebene kennen und verstehen.
• eine Parameterdarstellung einer Ebene bestimmen können.
• die Koordinatendarstellung/Normalengleichung einer Ebene kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen einer Parameter- und einer Koordinatendarstellung/Normalengleichung einer Ebene verstehen.
• aus der Parameterdarstellung einer Ebene eine Koordinatendarstellung/Normalengleichung herleiten können und umgekehrt.
• die Parameter- und die Koordinatendarstellung/Normalengleichung einer Ebene sowie die Abstandsformeln zur Lösung geometrischer Probleme anwenden können.
• die Herleitung der Formeln zur Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene, des Abstandes zwischen einer Geraden und einer Ebene, des Abstandes zwischen zwei Ebenen verstehen.
• den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene, einer Geraden und einer Ebene, zwei Ebenen bestimmen können.
• den Schnittpunkt zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmen können.
• die Herleitung der Formel zur Bestimmung des Schnittwinkels zwischen einer Geraden und einer Ebene verstehen.
• den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmen können.
• die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene beurteilen können.
• die gegenseitige Lage zweier Ebenen beurteilen können.
• die Schnittgerade zweier sich schneidender Ebenen bestimmen können.
• die Herleitung der Formel zur Bestimmung des Schnittwinkels zwischen zwei sich schneidender Ebenen verstehen.
• den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen bestimmen können.
• neue geometrische Problemstellungen mit Hilfe der Parameterdarstellung einer Geraden sowie der Parameter- und Koordinatendarstellung/Normalengleichung einer Ebene analysieren und lösen können.

Matrizenrechnung

• wissen, was eine Matrix ist.
• die Begriffe Zeilen, Spalten, Zeilenvektor, Spaltenvektor kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen einem linearen Gleichungssystem und einer Matrix verstehen.
• wissen, wie die Transponierte einer Matrix definiert ist.
• die Transponierte einer Matrix bestimmen können.
• wissen, was eine quadratische Matrix, Diagonalmatrix, Einheitsmatrix, Dreiecksmatrix, symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix ist.
• wissen, was die Gleichheit zweier Matrizen bedeutet.

• wissen, wie die Addition bzw. Subtraktion zweier Matrizen definiert ist.
• zwei Matrizen addieren bzw. voneinander subtrahieren können.
• die Rechenregeln der Addition, Subtraktion und des Transponierens kennen, verstehen und anwenden können.
• wissen, wie die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar definiert ist.
• eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren können.
• die Rechenregeln der Multiplikation mit einem Skalar kennen, verstehen und anwenden können.
• wissen, wie die Multiplikation zweier Matrizen definiert ist.
• wissen und verstehen, unter welchen Bedingungen zwei Matrizen miteinander multipliziert werden können.
• zwei Matrizen miteinander multiplizieren können.
• die Rechenregeln der Matrixmultiplikation kennen, verstehen und anwenden können.
• die Matrix-Rechenoperationen in einfacheren Problemstellungen anwenden können.

• wissen und verstehen, was eine Linearkombination von Vektoren ist.
• wissen und verstehen, was die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren bedeutet.
• wissen und verstehen, was der Rang einer Matrix ist.
• den Rang einer Matrix mit Hilfe von elementaren Zeilenumformungen bzw. mit Hilfe der RRE-Form bestimmen können.
• wissen und verstehen, wie eine ein-, zwei-, dreireihige Determinante definiert ist.
• eine ein-, zwei-, dreireihige Determinante bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der Determinante einer quadratischen Matrix und der linearen Abhängigkeit/Unabhängigkeit der Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der Matrix kennen.
• den Zusammenhang zwischen dem Rang und der Determinante einer quadratischen Matrix kennen und verstehen.

• wissen, was eine reguläre Matrix ist.
• beurteilen können, ob eine gegebene quadratische Matrix regulär oder singulär ist.
• den Zusammenhang zwischen der Regularität einer Matrix und deren Determinante und Rang kennen.
• wissen, wie die Inverse einer Matrix definiert ist.
• beurteilen können, ob eine gegebene Matrix die Inverse einer anderen gegebenen Matrix ist.
• wissen, was eine orthogonale Matrix ist.
• wissen und verstehen, dass bei einer orthogonalen Matrix die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren orthonormiert sind.
• wissen und verstehen, dass eine orthogonale Matrix regulär ist.
• wissen und verstehen, dass bei einer orthogonalen Matrix die Transponierte und die Inverse identisch sind.
• beurteilen können, ob eine gegebene Matrix orthogonal ist.
• die Inverse einer orthogonalen Matrix bestimmen können.

• die möglichen Fälle für die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen dem Auffinden von Lösungen eines linearen Gleichungssystems und der linearen Unabhängigkeit der Spaltenvektoren der dazugehörigen Koeffizienten- und erweiterten Koeffizientenmatrix kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems und dem Rang bzw. der Determinante der dazugehörigen Koeffizienten- und erweiterten Koeffizientenmatrix kennen und verstehen.
• aus der zu einem linearen Gleichungssystem gehörigen Koeffizienten- und erweiterten Koeffizientenmatrix die Lösungsmenge des Gleichungssystems beurteilen können.
• den Zusammenhang zwischen der Existenz und Eindeutigkeit einer inversen Matrix mit der Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen eines linearen Gleichungssystems kennen und verstehen.
• wissen und verstehen, dass nur quadratische Matrizen eine Inverse besitzen können.
• wissen und verstehen, welche Eigenschaften eine quadratische Matrix besitzen muss, damit sie invertierbar ist.
• die Inverse einer invertierbaren Matrix mit Hilfe des Gauss-Jordan-Verfahrens bestimmen können.

Lineare Abbildungen

• die Bewegung von Objekten am Computerbildschirm als Anwendung von linearen Abbildungen verstehen.
• wissen und verstehen, wie eine lineare Abbildung definiert ist.
• beurteilen können, ob eine gegebene Abbildung linear ist oder nicht.
• den Zusammenhang zwischen einer linearen Abbildung und einer Matrix kennen und verstehen.
• die Abbildungsmatrix einer einfacheren linearen Abbildung bestimmen können.
• eine einfachere lineare Abbildung geometrisch interpretieren können.

• die allgemeine Form der Abbildungsmatrix einer Spiegelung an einer durch den Ursprung laufenden Ebene kennen und verstehen.
• wissen und verstehen, dass die Abbildungsmatrix einer Spiegelung symmetrisch und orthogonal ist.
• die Abbildungsmatrix einer Spiegelung an einer konkreten, durch den Ursprung laufenden Ebene bestimmen und anwenden können.
• die Abbildungsvorschrift einer Spiegelung an einer beliebigen Ebene bestimmen können.
• die allgemeine Form der Abbildungsmatrix einer Drehung um eine Koordinatenachse kennen und verstehen.
• zwei Varianten für die allgemeine Form der Abbildungsmatrix einer Drehung um eine beliebige Achse durch den Nullpunkt kennen und verstehen.
• die Abbildungsmatrix einer Drehung um eine konkrete Drechachse durch den Nullpunkt bestimmen und anwenden können.
• die Abbildungsvorschrift einer Drehung um eine beliebige Achse bestimmen können.
• die allgemeine Form der Abbildungsmatrix einer Projektion entlang eines Vektors auf eine durch den Ursprung laufende Ebene kennen und verstehen.
• die Abbildungsmatrix einer Projektion entlang eines konkreten Vektors und auf eine konkrekte, durch den Ursprung laufende Ebene bestimmen und anwenden können.
• die Abbildungsvorschrift einer Projektion entlang eines Vektors auf eine beliebige Ebene bestimmen können.
• wissen und verstehen, dass die Zusammensetzung zweier linearer Abbildungen linear ist.
• die Abbildungsmatrix einer linearen Abbildung, die aus zwei linearen Abbildungen zusammengesetzt ist, aus den Abbildungsmatrizen der einzelnen Abbildungen bestimmen können.
• wissen und verstehen, dass bei einer invertierbaren linearen Abbildung die Abbildungsmatrix der inversen Abbildung die inverse Matrix der Abbildungsmatrix der linearen Abbildung ist.
• die Abbildungsmatrix einer inversen Abbildung bestimmen können, wenn die ursprüngliche Abbildung aus linearen Abbildungen zusammengesetzt ist.
• eine einfachere lineare Abbildung geometrisch interpretieren können.

• wissen und verstehen, was ein Eigenwert und ein Eigenvektor einer linearen Abbildung ist. (nicht prüfungsrelevant)
• die Eigenwerte und die Eigenvektoren einer linearen Abbildung aus deren vorgegebenen Abbildungsmatrix bestimmen können. (nicht prüfungsrelevant)

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