Differentialrechnung, Systemtechnik NTB, HTW Chur, Thomas Borer, 2013/14

Lernziele

Allgemein

• eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten können.
• eine Problemstellung selbstständig und in einer Gruppe diskutieren und bearbeiten können.
• sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse und Fähigkeiten erarbeiten können.
• einen bekannten oder neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.
• Erkenntnisse in geeigneter Form zusammenfassen können.
• Lösungswege vollständig, übersichtlich und verständlich dokumentieren können.

Polynome

• die Definition einer Polynomfunktion kennen.
• Rechenregeln für Polynome anwenden können.
• wissen, was man unter dem Grad einer Polynomfunktion versteht.
• die Definition einer konstanten, linearen Funktion kennen.
• verstehen, dass der Graf einer konstanten, linearen Funktion eine Gerade ist.
• Beispiele von Grössen aus Natur und Technik kennen, deren Beziehung durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann.
• die Definition einer quadratischen Funktion kennen.
• wissen, dass der Graf einer quadratischen Funktion eine Parabel ist.
• Beispiele von Grössen aus Technik und Alltag kennen, deren Beziehung durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann.
• den Grafen einer konstanten, linearen, quadratischen Funktion skizzieren können.
• die Existenz von Nullstellen einer konstanten, linearen, quadratischen Funktion beurteilen können.
• die Hauptform der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion von Hand in die Scheitelpunktsform und umgekehrt umformen können.
• den Fundamentalsatz der Algebra über die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion kennen und verstehen.
• wissen, was eine mehrfache Nullstelle einer Polynomfunktion ist.
• die Produktform bzw. Linearfaktorzerlegung eines Polynoms kennen und verstehen.
• die Regel zum Auffinden von ganzzahligen Nullstellen einer Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten kennen und anwenden können.
• die Produktform bzw. Linearfaktorzerlegung eines einfacheren Polynoms bestimmen können.
• charakteristische Eigenschaften einer Polynomfunktion kennen.

Ableitungen für Polynome

• verstehen, was eine reelle Zahlenfolge ist.
• eine reelle Zahlenfolge als diskrete Funktion verstehen.
• verstehen, was das Bildungsgesetz einer reellen Zahlenfolge ist.
• aus dem Bildungsgesetz einer reellen Zahlenfolge die einzelnen Folgenglieder bestimmen können.
• das Bildungsgesetz einfacherer reeller Zahlenfolgen bestimmen können.
• verstehen, was der Grenzwert einer reellen Zahlenfolge ist.
• die symbolische Schreibweise für den Grenzwert verstehen und korrekt anwenden können.
• die Begriffe "konvergent" und "divergent" kennen und verstehen.
• beurteilen können, ob eine einfachere reelle Zahlenfolge konvergent oder divergent ist.
• den Grenzwert einer einfacheren konvergenten reellen Zahlenfolge bestimmen können.
• verstehen, was der Grenzwert einer Funktion ist.
• verstehen, was der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert einer Funktion ist.
• die symbolische Schreibweise für den Grenzwert einer Funktion kennen und korrekt anwenden können.
• einfachere Grenzwerte von Funktionen bestimmen können.
• die Grenzwertsätze kennen, verstehen und anwenden können.
• verstehen, dass man zur Bestimmung der Steigung einer krummlinigen Kurve ein anderes Verfahren benötigt als zur Bestimmung der Steigung einer Geraden.
• das Bestimmen der Änderungsrate einer Funktion als eine Anwendung der Differentialrechnung verstehen.
• das Bestimmen von Extremalwerten einer Funktionn als eine Anwendung der Differentialrechnung verstehen.
• den Zusammenhang zwischen Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung bei einer eindimensionalen Bewegung kennen und verstehen.
• verstehen, was ein Differenzenquotient ist.
• verstehen, was ein Differentialquotient ist.
• den Differentialquotienten einer Potenzfunktion als Grenzwert des Differenzenquotienten von Hand bestimmen können.
• verstehen, wie die Ableitung einer Funktion definiert ist.
• den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und der Steigung deren Grafen in einem Kurvenpunkt verstehen.
• die Faktor- und Summenregel auswendig kennen.
• die Faktor- und Summenregel zur Bestimmung der Ableitung einer Polynomfunktion anwenden können.

Erste Anwendungen der Ableitung

• wissen, was höhere Ableitungen sind.
• höhere Ableitungen von Polynomfunktionen bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung einer Funktion und dem Steigen und Fallen des Grafen der Funktion verstehen und anwenden können.
• den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung einer Funktion und dem Krümmungsverhalten des Grafen der Funktion verstehen und anwenden können.
• verstehen, was ein relatives Maximum, ein relatives Minimum ist.
• verstehen, was ein Wendepunkt, ein Sattelpunkt ist.
• notwendige und hinreichende Bedingungen für ein relatives Maximum, ein relatives Minimum, einen Wendepunkt, einen Sattelpunkt kennen und verstehen.
• relative Maxima, relative Minima und Wendepunkte einer Polynomfunktion bestimmen können.
• die Differentialrechnung zur Lösung von Extremwertaufgaben anwenden können.
• die Änderungsrate einer linearen Funktion elementar geometrisch bestimmen können.
• die Änderungsrate einer Polynomfunktion mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmen können.

Integralrechnung für Polynome

• verstehen, was eine Stammfunktion ist.
• verstehen, wie das unbestimmte Integral einer Funktion definiert ist.
• Stammfunktionen bzw. das unbestimmte Integral einer Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten bestimmen können.
• die Faktor- und Summenregel auswendig können und anwenden können.
• Stammfunktionen bzw. das unbestimmte Integral einer Polynomfunktion bestimmen können.
• verstehen, dass man zur Bestimmung des Flächeninhaltes einer krummlinig umrandeten Fläche im Allgemeinen ein anderes Verfahren benötigt als zur Bestimmung des Flächeninhaltes einer geradlinig umrandeten Fläche.
• die Begriffe "Untersumme" und "Obersumme" verstehen.
• verstehen, dass die Fläche zwischen dem Grafen einer Funktion und der Abszissenachse der Grenzwert einer Unter- bzw. Obersumme ist.
• verstehen, wie das bestimmte Integral einer Funktion definiert ist.
• die symbolische Schreibweise für ein bestimmtes Integral kennen und korrekt schreiben können.
• die Begriffe "Integrand", "Integrationsvariable", "untere Integrationsgrenze", "obere Integrationsgrenze" kennen und verstehen.
• verstehen, was eine Flächenfunktion ist.
• den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung kennen und verstehen.
• das bestimmte Integral einer Polynomfunktion bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen Flächeninhalten und bestimmten Integralen verstehen.
• den Flächeninhalt einer Fläche zwischen dem Grafen einer Polynomfunktionund der Abszisse mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• den Flächeninhalt einer Fläche zwischen den Grafen zweier Polynomfunktionen mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen dem Strom einer mengenartigen Grösse und der in einer bestimmten Zeitspanne geflossenen Menge verstehen.
• aus dem zeitlichen Verlauf des Stromes einer mengenartigen Grösse die in einer bestimmten Zeitspanne geflossene Menge mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der Änderungsrate einer Grösse und der Änderung der Grösse in einer bestimmten Zeitspanne verstehen.
• aus dem zeitlichen Verlauf der Änderungsrate einer mengenartigen Grösse die Änderung der Grösse in einer bestimmten Zeitspanne mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.

Funktionen

• verstehen, was eine Funktion ist.
• die Begriffe "Definitionsbereich", "Zielbereich" und "Bildbereich" verstehen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• beurteilen können, ob eine gegebene Zuordnung eine Funktion ist oder nicht.
• die verschiedenen Darstellungsarten einer Funktion kennen.
• die Funktionsvorschrift einer Funktion korrekt formulieren können.
• eine Funktion in einem Pfeildiagramm, in einer Tabelle darstellen können.
• den Bildbereich einer gegebenen Funktion bestimmen können.
• Funktionswerte einer gegebenen Funktion bestimmen können.
• aus dem Grafen einer gegebenen Funktion den Definitionsbereich der Funktion herauslesen können.
• verstehen, was eine zusammengesetzte Funktion ist.
• zwei gegebene Funktionen zu einer einzigen Funktion zusammensetzen können.
• eine gegebene Funktion als Zusammensetzung zweier oder mehrerer Funktionen darstellen können.
• verstehen, was eine injektive, surjektive, bijektive Funktion ist.
• beurteilen können, ob eine Funktion injektiv, surjektiv, bijektiv ist oder nicht.
• verstehen, was eine Umkehrfunktion ist.
• verstehen, dass eine Funktion genau dann eine Umkehrfunktion besitzt, wenn sie bijektiv ist.
• die zu einer einfacheren bijektiven Funktion gehörige Umkehrfunktion bestimmen können.
• die Eigenschaften des Grafen einer bijektiven Funktion kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen dem Grafen einer bijektiven Funktion und dem Grafen der dazugehörigen Umkehrfunktion verstehen.
• wissen und verstehen, was es heisst, eine Funktion sei an einer Stelle stetig.
• beurteilen können, ob eine Funktion an einer bestimmten Stelle stetig ist oder nicht.
• wissen und verstehen, was eine Nullstelle einer Funktion ist.
• die Nullstelle(n) einer Funktion bestimmen können.
• wissen und verstehen, was eine Polstelle einer Funktion ist.
• die Polstelle(n) einer Funktion bestimmen können.
• wissen und verstehen, was es heisst, eine Funktion sei in einem Intervall monoton bzw. streng monoton wachsend.
• wissen und verstehen, was es heisst, eine Funktion sei in einem Intervall monoton bzw. streng monoton fallend.
• beurteilen können, ob eine Funktion auf einem Intervall monoton bzw. streng monoton wachsend ist oder nicht.
• beurteilen können, ob eine Funktion auf einem Intervall monoton bzw. streng monoton fallend ist oder nicht.
• wissen und verstehen, was es heisst, eine Funktion sei gerade bzw. ungerade.
• beurteilen können, ob eine Funktionn gerade bzw. ungerade ist.
• wissen und verstehen, was es heisst, eine Funktion sei periodisch.
• beurteilen können, ob eine Funktion periodisch ist oder nicht.
• den Einfluss einer additiven bzw. multiplikativen Variablentransformation auf den Grafen einer Funktion kennen und verstehen.
• ausgewählte Aufgaben zur Analyse von Funktionen und zur Variablentransformation bearbeiten können.

Ableitungsregeln

• die Ableitung einer Grundfunktion mit Hilfe einer Ableitungs-Tabelle bestimmen können.
• die Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotientenregel kennen, verstehen und zur Bestimmung der Ableitung einfacherer Funktionen anwenden können.
• die Kettenregel kennen, verstehen und zur Bestimmung der Ableitung einfacherer zusammengesetzter Funktionen anwenden können.

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