Mathematik 1, Bau und Gestaltung, HTW Chur, Thomas Borer, 2012/13

Lernziele

Allgemein

• eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten können.
• eine Problemstellung selbstständig und in einer Gruppe diskutieren und bearbeiten können.
• sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse und Fähigkeiten erarbeiten können.
• einen bekannten oder neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.
• Erkenntnisse in geeigneter Form zusammenfassen können.
• Lösungswege vollständig, übersichtlich und verständlich dokumentieren können.
• einige mathematische Grundgesetze und Grundformeln auswendig kennen, siehe Formelsammlung A (auswendig).

Vektoren

• verstehen, was ein Vektor ist.
• den Unterschied zwischen einem Vektor und einem Pfeil verstehen.
• einen Vektor korrekt kennzeichnen bzw. schreiben können.
• wissen, was ein Gegenvektor ist.
• wissen, wie die Addition zweier Vektoren definiert ist.
• wissen, wie die Subtraktion zweier Vektoren definiert ist.
• wissen, wie die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl definiert ist.
• wissen, wie Vektoren analytisch, d.h. durch Komponenten beschrieben werden.
• einen Vektor korrekt mit Komponenten schreiben können.
• wissen, was der Betrag eines Vektors ist.
• Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, addieren, subtrahieren, mit Zahlen multiplizieren und deren Betrag bestimmen können.
• wissen, was ein Nullvektor, Einheitsvektor, Ortsvektor ist.
• die Grundoperationen der Vektorrechnung zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• wissen, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert ist.
• den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und einer Projektion verstehen.
• die Rechengesetze des Skalarproduktes anwenden können.
• das Skalarprodukt zweier Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, bestimmen können.
• das Skalarprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• wissen, wie das Vektorprodukt zweier Vektoren definiert ist.
• die geometrische Bedeutung eines Vektorproduktes kennen und verstehen.
• die Rechengesetze des Vektorproduktes anwenden können.
• das Vektorprodukt zweier Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, bestimmen können.
• das Vektorprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• wissen, wie das Spatprodukt dreier Vektoren definiert ist.
• die geometrische Bedeutung eines Spatproduktes kennen und verstehen.
• das Spatprodukt dreier Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, bestimmen können.
• ein Spatprodukt mit Hilfe einer dreireihigen Determinante berechnen können.
• die Rechenregeln für das Spatprodukt kennen und anwenden können.
• das Spatprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.

Analytische Geometrie

• die Parameterdarstellung einer Geraden kennen und verstehen.
• verstehen, was ein Richtungsvektor ist.
• eine Parameterdarstellung einer Geraden bestimmen können.
• die Parameterdarstellung einer Geraden bei der Bearbeitung geometrischer Problemstellungen anwenden können.
• die Koordinatendarstellung/Normalengleichung einer Geraden in der zweidimensionalen Ebene kennen, verstehen und bestimmen können.
• die Herleitung der Formeln zur Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden, des Abstandes zwischen zwei Geraden, des Schnittwinkels zwischen zwei Geraden verstehen.
• den Abstand eines Punktes von einer Geraden sowie den Abstand zweier Geraden bestimmen können.
• den Schnittpunkt und den Schnittwinkel zweier Geraden bestimmen können.

• die Parameterdarstellung einer Ebene kennen und verstehen.
• eine Parameterdarstellung einer Ebene bestimmen können.
• die Koordinatendarstellung/Normalengleichung einer Ebene kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen einer Parameter- und einer Koordinatendarstellung/Normalengleichung einer Ebene verstehen.
• aus der Parameterdarstellung einer Ebene eine Koordinatendarstellung/Normalengleichung herleiten können und umgekehrt.
• die Parameter- und die Koordinatendarstellung/Normalengleichung einer Ebene sowie die Abstandsformeln zur Lösung geometrischer Probleme anwenden können.
• die Herleitung der Formeln zur Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene, des Abstandes zwischen einer Geraden und einer Ebene, des Abstandes zwischen zwei Ebenen verstehen.
• den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene, einer Geraden und einer Ebene, zwei Ebenen bestimmen können.
• den Schnittpunkt zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmen können.
• die Herleitung der Formel zur Bestimmung des Schnittwinkels zwischen einer Geraden und einer Ebene verstehen.
• den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmen können.
• die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene beurteilen können.
• die gegenseitige Lage zweier Ebenen beurteilen können.
• die Schnittgerade zweier sich schneidender Ebenen bestimmen können.
• die Herleitung der Formel zur Bestimmung des Schnittwinkels zwischen zwei sich schneidender Ebenen verstehen.
• den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen bestimmen können.
• neue geometrische Problemstellungen mit Hilfe der Parameterdarstellung einer Geraden sowie der Parameter- und Koordinatendarstellung/Normalengleichung einer Ebene analysieren und lösen können.

• wissen, dass Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel Kegelschnitte sind.
• die geometrischen Definitionen von Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel kennen und verstehen.
• aus der geometrischen Definition des Kreises die Gleichung des Kreises bestimmen können.
• aus bekannten Eigenschaften eines Kreises dessen Gleichung bestimmen können.
• die Kreisgleichung zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• aus der geometrischen Definition der Parabel die Gleichung der Parabel bestimmen können.
• die Parabelgleichung zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• verstehen, dass eine Parabel als Graf einer quadratischen Funktion aufgefasst werden kann.

Funktionen

• verstehen, was eine Funktion ist.
• die Begriffe "Definitionsbereich", "Zielbereich" und "Bildbereich" verstehen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• beurteilen können, ob eine gegebene Zuordnung eine Funktion ist oder nicht.
• die verschiedenen Darstellungsarten einer Funktion kennen.
• die Funktionsvorschrift einer Funktion korrekt formulieren können.
• eine Funktion in einem Pfeildiagramm, in einer Tabelle darstellen können.
• den Bildbereich einer gegebenen Funktion bestimmen können.
• Funktionswerte einer gegebenen Funktion bestimmen können.
• aus dem Grafen einer gegebenen Funktion den Definitionsbereich der Funktion herauslesen können.
• verstehen, was eine zusammengesetzte Funktion ist.
• zwei gegebene Funktionen zu einer einzigen Funktion zusammensetzen können.
• eine gegebene Funktion als Zusammensetzung zweier oder mehrerer Funktionen darstellen können.
• verstehen, was eine injektive, surjektive, bijektive Funktion ist.
• beurteilen können, ob eine Funktion injektiv, surjektiv, bijektiv ist oder nicht.
• verstehen, was eine Umkehrfunktion ist.
• verstehen, dass eine Funktion genau dann eine Umkehrfunktion besitzt, wenn sie bijektiv ist.
• die zu einer einfacheren bijektiven Funktion gehörige Umkehrfunktion bestimmen können.
• die Eigenschaften des Grafen einer bijektiven Funktion kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen dem Grafen einer bijektiven Funktion und dem Grafen der dazugehörigen Umkehrfunktion verstehen.
• verstehen, was eine Nullstelle einer Funktion ist.
• die Nullstellen einer einfacheren Funktion von Hand bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer Funktion und den Lösungen einer Gleichung verstehen.
• einfachere Gleichungen von Hand lösen können.

• die Definition einer konstanten, linearen Funktion kennen.
• verstehen, dass der Graf einer konstanten, linearen Funktion eine Gerade ist.
• Beispiele von Grössen aus Natur und Technik kennen, deren Beziehung durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann.
• die Definition einer quadratischen Funktion kennen.
• wissen, dass der Graf einer quadratischen Funktion eine Parabel ist.
• Beispiele von Grössen aus Technik und Alltag kennen, deren Beziehung durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann.
• den Grafen einer konstanten, linearen, quadratischen Funktion skizzieren können.
• die Existenz von Nullstellen einer konstanten, linearen, quadratischen Funktion beurteilen können.
• die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität einer konstanten, linearen, quadratischen Funktion beurteilen können.
• die Umkehrfunktion einer bijektiven linearen, quadratischen Funktion bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen den Grafen einer bijektiven Funktion und deren Umkehrfunktion kennen und verstehen.
• den Einfluss einer Verschiebung, Skalierung auf den Grafen einer Funktion kennen und verstehen.
• die Normalform der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion von Hand in die Scheitelpunktsform und umgekehrt umformen können.
• die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion bestimmen können, welche in einer konkreten Problemstellung den quadratischen Zusammenhang zweier Grössen beschreibt.
• die Definition einer ganzrationalen Funktion oder Polynomfunktion kennen.
• wissen, was man unter dem Grad einer Polynomfunktion versteht.
• den Fundamentalsatz der Algebra über die Nullstellen einer ganzrationalen Funktion kennen und verstehen.
• wissen, was eine mehrfache Nullstelle einer Polynomfunktion ist.
• die Produktform bzw. Linearfaktorzerlegung eines Polynoms kennen und verstehen.
• die Regel zum Auffinden von ganzzahligen Nullstellen einer Polynomfunktion mit ganzzahligen Koeffizienten kennen und anwenden können.
• die Produktform bzw. Linearfaktorzerlegung eines einfacheren Polynoms bestimmen können.
• charakteristische Eigenschaften einer Polynomfunktion kennen.
• die Definition einer Potenz-, Wurzelfunktion kennen.
• Beispiele von Grössen aus Natur und Technik kennen, deren Beziehung durch eine Potenz-, Wurzelfunktion beschrieben werden kann.
• den Grafen einer Potenz-, Wurzelfunktion skizzieren können.
• die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität einer Potenz-, Wurzelfunktion beurteilen können.
• die Umkehrfunktion einer bijektiven Potenz-, Wurzelfunktion bestimmen können.
• verstehen, dass eine Wurzelfunktion die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion ist.
• den Einfluss einer Verschiebung, Skalierung auf den Grafen einer Funktion kennen und verstehen.
• die Definition einer gebrochenrationalen Funktion kennen.
• den Unterschied zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen kennen.
• charakteristische Eigenschaften einer gebrochenrationalen Funktion kennen.
• die Definitionen der trigonometrischen Grundfunktionen sin, cos, tan, cot am Einheitskreis kennen.
• die Grafen der trigonometrischen Grundfunktionen kennen und verstehen.
• verstehen, dass die trigonometrischen Funktionen periodisch sind.
• die Begriffe "Amplitude", "Periode" und "Phasenverschiebung" verstehen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• den Einfluss einer Verschiebung, Skalierung auf die Amplitude, Periode und Phasenverschiebung einer trigonometrischen Funktion kennen und verstehen.
• die Amplitude, Periode und Phasenverschiebung einer trigonometrischen Funktion bestimmen können.
• den Grafen einer einfacheren trigonometrischen Funktion skizzieren können.
• die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität einer trigonometrischen Funktion beurteilen können.
• die Definitionen der Arkusfunktionen arcsin, arccos, arctan, arccot kennen.
• die Grafen der Arkusfunktionen kennen und verstehen.
• die Lösungen einer einfacheren trigonometrischen Gleichung von Hand bestimmen können.
• die Umkehrfunktion einer einfacheren trigonometrischen Funktion bestimmen können.
• die Definition der Exponentialfunktion kennen.
• den Grafen der Exponentialfunktion kennen.
• Beispiele von Grössen kennen, die im zeitlichen Verlauf exponentiell wachsen oder fallen.
• den zeitlichen Velauf einer exponentiell wachsenden oder fallenden Grösse mit einer Exponentialfunktion beschreiben können.
• die Umkehrbarkeit der Exponentialfunktion beurteilen können.
• einfachere Probleme zur Exponentialfunktion bearbeiten können.
• die Definition der Logarithmusfunktion kennen.
• wissen, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.
• den Grafen der Logarithmusfunktion kennen.
• einfachere Logarithmen von Hand berechnen können.
• die Rechenregeln für Logarithmen kennen und anwenden können.
• verstehen, dass jeder exponentielle Verlauf durch eine Exponentialfunktion mit der Basis e ausgedrückt werden kann.
• verstehen, dass die relative Änderung einer sich zeitlich exponentiell veränderlichen Grösse in gleichen Zeitbereichen gleich ist.
• den Begriff der Halbwertszeit verstehen.
• wissen, dass die Logarithmengesetze aus den Potenzgesetzen folgen.
• die einfach-logarithmische Darstellung von Exponentialfunktionen und deren Nutzen verstehen.
• die doppelt-logarithmische Darstellung von Potenzfunktionen und deren Nutzen verstehen.
• die Beziehung zwischen Schallintensität und Schallpegel als Beispiel einer Logarithmusfunktion kennen.
• einfachere Exponential- und Logarithmusgleichungen von Hand lösen können.
• wissen, dass sich die hyperbolischen Funktionen aus Exponentialfunktionen zusammensetzen.
• die Grafen der hyperbolischen Funktionen kennen.
• die Kettenlinie als Anwendung des Cosinus hyperbolicus kennen.

• verstehen, was eine reelle Zahlenfolge ist.
• eine reelle Zahlenfolge als diskrete Funktion verstehen.
• verstehen, was das Bildungsgesetz einer reellen Zahlenfolge ist.
• aus dem Bildungsgesetz einer reellen Zahlenfolge die einzelnen Folgeglieder bestimmen können.
• das Bildungsgesetz einfacherer reeller Zahlenfolgen bestimmen können.
• verstehen, was der Grenzwert einer reellen Zahlenfolge ist.
• die symbolische Schreibweise für den Grenzwert verstehen und korrekt anwenden können.
• die Begriffe "konvergent" und "divergent" kennen und verstehen.
• beurteilen können, ob eine einfachere reelle Zahlenfolge konvergent oder divergent ist.
• den Grenzwert einer einfacheren konvergenten Zahlenfolge bestimmen können.
• verstehen, was der Grenzwert einer Funktion ist.
• verstehen, was der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert einer Funktion ist.
• die symbolische Schreibweise für den Grenzwert einer Funktion kennen und korrekt anwenden können.
• einfachere Grenzwerte von Funktionen bestimmen können.
• verstehen, wie die Stetigkeit einer Funktion definiert ist.
• verstehen, was eine Stetigkeits- bzw. Unstetigkeitsstelle einer Funktion ist.
• beurteilen können, ob eine einfachere Funktion an einer bestimmten Stelle stetig ist oder nicht.

Grenzwert

• verstehen, was eine reelle Zahlenfolge ist.
• eine reelle Zahlenfolge als diskrete Funktion verstehen.
• verstehen, was das Bildungsgesetz einer reellen Zahlenfolge ist.
• aus dem Bildungsgesetz einer reellen Zahlenfolge die einzelnen Folgenglieder bestimmen können.
• das Bildungsgesetz einfacherer reeller Zahlenfolgen bestimmen können.
• die rekursive Definition einer reellen Zahlenfolge kennen und verstehen.
• aus der rekursiven Definition einer reellen Zahlenfolge die einzelnen Folgenglieder bestimmen können.
• verstehen, was der Grenzwert einer reellen Zahlenfolge ist.
• die symbolische Schreibweise für den Grenzwert verstehen und korrekt anwenden können.
• die Begriffe "konvergent" und "divergent" kennen und verstehen.
• beurteilen können, ob eine einfachere reelle Zahlenfolge konvergent oder divergent ist.
• den Grenzwert einer einfacheren konvergenten Zahlenfolge bestimmen können.
• verstehen, was eine arithmetische Folge ist.
• das Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge bestimmen können.
• verstehen, was eine geometrische Folge ist.
• das Bildungsgesetz einer geometrischen Folge bestimmen können.
• das Bildungsgesetz der arithmetischen/geometrischen Folge in einer konkreten Problemstellung anwenden können.
• wissen und verstehen, was eine Partial- bzw. Teilsummenfolge ist.
• wissen und verstehen, was eine endliche, unendliche Reihe ist.
• die Summe einer endlichen arithmetischen Reihe bestimmen können.
• die Summe einer endlichen geometrischen Reihe bestimmen können.
• wissen und verstehen, was es bedeutet, dass eine unendliche Reihe konvergiert bzw. divergiert.
• ein notwendiges Kriterium für die Konvergenz einer unendlichen Reihe kennen.
• das Quotientenkriterium als hinreichendes Konvergenzkriterium für eine unendliche Reihe kennen, verstehen und anwenden können.
• das Wurzelkriterium als hinreichendes Konvergenzkriterium für eine unendliche Reihe kennen, verstehen und anwenden können.
• wissen und verstehen, unter welcher Bedingung eine unendliche geometrische Reihe konvergent ist.
• beurteilen können, ob eine unendliche geometrische Reihe konvergent ist oder nicht.
• die Summe einer unendlichen konvergenten geometrischen Reihe bestimmen können.
• verstehen, was der Grenzwert einer Funktion ist.
• verstehen, was der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert einer Funktion ist.
• die symbolische Schreibweise für den Grenzwert einer Funktion kennen und korrekt anwenden können.
• einfachere Grenzwerte von Funktionen bestimmen können.
• die Grenzwertsätze kennen, verstehen und anwenden können.
• verstehen, wie die Stetigkeit einer Funktion definiert ist.
• verstehen, was eine Stetigkeits- bzw. Unstetigkeitsstelle einer Funktion ist.
• beurteilen können, ob eine einfachere Funktion an einer bestimmten Stelle stetig ist oder nicht.

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