Mathematik 2, Bau und Gestaltung, HTW Chur, Thomas Borer, 2011/12

Lernziele

Allgemein

• eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten können.
• eine Problemstellung selbstständig und in einer Gruppe diskutieren und bearbeiten können.
• sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse und Fähigkeiten erarbeiten können.
• einen bekannten oder neuen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.
• Erkenntnisse in geeigneter Form zusammenfassen können.
• Lösungswege vollständig, übersichtlich und verständlich dokumentieren können.
• einige mathematische Grundgesetze und Grundformeln auswendig kennen, siehe Formelsammlung A (auswendig).

Differentialrechnung

• verstehen, dass man zur Bestimmung der Steigung einer krummlinigen Kurve ein anderes Verfahren benötigt als zur Bestimmung der Steigung einer Geraden.
• das Bestimmen von Extremalwerten als eine Anwendung der Differentialrechnung verstehen.
• wissen und verstehen, was eine Änderungsrate ist.
• das Bestimmen einer Änderungsrate als eine Anwendung der Differentialrechnung verstehen.
• verstehen, was ein Differenzenquotient ist.
• verstehen, wie die Ableitung einer Funktion definiert ist.
• den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und der Steigung deren Grafen in einem Kurvenpunkt verstehen.
• verstehen, was ein Differential, ein Differentialquotient ist.
• die Ableitung einer einfachen Funktion direkt aus der Definition der Ableitung von Hand bestimmen können.
• die Ableitung einer Grundfunktion mit Hilfe einer Ableitungs-Tabelle bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der Stetigkeit und der Differenzierbarkeit einer Funktion verstehen.
• die Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotientenregel auswendig kennen.
• die Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotientenregel zur Bestimmung der Ableitung einfacherer Funktionen anwenden können.
• die Kettenregel verstehen und zur Bestimmung der Ableitung einfacherer zusammengesetzter Funktionen anwenden können.
• wissen, was höhere Ableitungen sind.
• höhere Ableitungen einfacherer Funktionen von Hand und mit Hilfe einer Ableitungs-Tabelle bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung einer Funktion und dem Steigen und Fallen des Grafen der Funktion verstehen und anwenden können.
• den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung einer Funktion und dem Krümmungsverhalten des Grafen der Funktion verstehen und anwenden können.
• verstehen, was ein relatives Maximum, ein relatives Minimum ist.
• verstehen, was ein Wendepunkt, ein Sattelpunkt ist.
• notwendige und hinreichende Bedingungen für ein relatives Maximum, ein relatives Minimum, einen Wendepunkt, einen Sattelpunkt kennen und verstehen.
• relative Maxima, relative Minima und Wendepunkte einer einfacheren Funktion von Hand bestimmen können.
• wissen, was der Gradient einer Funktion mit einer Variablen ist.
• den Gradienten einer Funktion erkennen und bestimmen können.
• die Differentialrechnung zur Lösung von Extremwertaufgaben anwenden können.
• die Änderungsrate einer linearen Grösse elementar geometrisch bestimmen können.
• die Änderungsrate einer nicht-linearen Grösse mit Hilfe der Differentialrechnung bestimmen können.
• die Regel von Bernoulli-de l'Hôpital kennen und anwenden können.

Integralrechnung

• verstehen, dass man zur Bestimmung des Flächeninhaltes einer krummlinig umrandeten Fläche im Allgemeinen ein anderes Verfahren benötigt als zur Bestimmung des Flächeninhaltes einer geradlinig umrandeten Fläche.
• die Begriffe "Untersumme" und "Obersumme" verstehen.
• verstehen, dass die Fläche zwischen dem Grafen einer Funktion und der Abszissenachse der Grenzwert einer Unter- bzw. Obersumme ist.
• verstehen, wie das bestimmte Integral einer Funktion definiert ist.
• die symbolische Schreibweise für ein bestimmtes Integral kennen und korrekt schreiben können.
• die Begriffe "Integrand", "Integrationsvariable", "untere Integrationsgrenze", "obere Integrationsgrenze" kennen und verstehen.
• verstehen, was eine Flächenfunktion ist.
• den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung kennen und verstehen.
• verstehen, was eine Stammfunktion ist.
• beurteilen können, ob eine Funktion eine Stammfunktion einer anderen Funktion ist.
• verstehen, wie das unbestimmte Integral einer Funktion definiert ist.
• verstehen, wie man ein bestimmtes Integral einer Funktion mit Hilfe einer Stammfunktion berechnet.
• die elementaren Integrationsregeln kennen und verstehen.
• eine Stammfunktion, ein unbestimmtes, ein bestimmtes Integral mit Hilfe einer Tabelle mit Grundintegralen und unter Anwendung der elementaren Integrationsregeln bestimmen können.
• verstehen, dass die Substitutionsmethode auf einer Verknüpfung zweier Funktionen beruht.
• den Zusammenhang zwischen der Substitutionsmethode und der Kettenregel der Differentialrechnung verstehen.
• einfachere Integrale mit Hilfe einer geeigneten Substitution bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der partiellen Integration und der Produktregel der Differentialrechnung verstehen.
• einfachere Integrale mit Hilfe der partiellen Integration bestimmen können.
• einfachere gebrochenrationale Funktionen mit Hilfe der Partialbruchzerlegung integrieren können.
• verstehen, was ein uneigentliches Integral ist.
• ein uneigentliches Integral bestimmen können.
• die numerischen Integrationsmethoden nach der Trapezformel und der Simpsonschen Formel verstehen.
• ein bestimmtes Integral näherungsweise nach der Trapezformel bzw. der Simpsonschen Formel berechnen können.
• den Zusammenhang zwischen Flächeninhalten und bestimmten Integralen verstehen.
• den Flächeninhalt einer Fläche zwischen einer Kurve und der Abszisse mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• den Flächeninhalt einer Fläche zwischen zwei Kurven mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen dem Strom einer mengenartigen Grösse und der in einer bestimmten Zeitspanne geflossenen Menge verstehen.
• aus dem zeitlichen Verlauf des Stromes einer mengenartigen Grösse die in einer bestimmten Zeitspanne geflossene Menge mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der Änderungsrate einer Grösse und der Änderung der Grösse in einer bestimmten Zeitspanne verstehen.
• aus dem zeitlichen Verlauf der Änderungsrate einer mengenartigen Grösse die Änderung der Grösse in einer bestimmten Zeitspanne mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• das Volumen eines Rotationskörpers mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• den Schwerpunkt einer einfacheren homogenen Fläche mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• den Schwerpunkt eines einfacheren homogenen Rotationskörpers mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.

Lineare Algebra

• wissen, was eine Matrix ist.
• die Begriffe Zeilen, Spalten, Zeilenvektor, Spaltenvektor kennen und verstehen.
• die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen.
• den Typ bzw. das Format einer Matrix erkennen können.
• wissen, wie die Transponierte einer Matrix definiert ist.
• die Transponierte einer Matrix bestimmen können.
• wissen, was eine quadratische Matrix, Diagonalmatrix, Einheitsmatrix, Dreiecksmatrix, symmetrische Matrix, schiefsymmetrische Matrix ist.
• beurteilen können, ob eine Matrix symmetrisch, schiefsymmetrisch ist.
• wissen, was die Gleichheit zweier Matrizen bedeutet.
• die Gleichheit zweier Matrizen beurteilen können.
• wissen, wie die Addition bzw. Subtraktion zweier Matrizen definiert ist.
• zwei Matrizen addieren bzw. voneinander subtrahieren können.
• die Rechenregeln der Addition, Subtraktion und des Transponierens kennen, verstehen und anwenden können.
• wissen, wie die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar definiert ist.
• eine Matrix mit einem Skalar multiplizieren können.
• die Rechenregeln der Multiplikation mit einem Skalar kennen, verstehen und anwenden können.
• wissen, wie die Multiplikation zweier Matrizen definiert ist.
• wissen und verstehen, unter welchen Bedingungen zwei Matrizen miteinander multipliziert werden können.
• zwei Matrizen miteinander multiplizieren können.
• die Rechenregeln der Matrixmultiplikation kennen, verstehen und anwenden können.
• die Matrix-Rechenoperationen in einfacheren Problemstellungen anwenden können.
• die Matrixdarstellung eines linearen Gleichungssystems kennen und verstehen.
• die Begriffe Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix kennen und verstehen.
• ein lineares Gleichungssystem in der Matrixdarstellung schreiben können.
• aus der Matrixdarstellung eines linearen Gleichungssystems die einzelnen Gleichungen herauslesen können.
• aus einem linearen Gleichungssystem die zugehörige Koeffizientenmatrix, erweiterte Koeffizientenmatrix herauslesen können.

• den Gauss-Algorithmus kennen und verstehen.
• das Gauss-Jordan-Verfahren kennen und verstehen.
• die Äquivalenzumformungen eines linearen Gleichungssystems kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen den Äquivalenzumformungen eines linearen Gleichungssystems und den elementaren Zeilenumformungen bei der zugehörigen erweiterten Koeffizientenmatrix kennen und verstehen.
• aus einem linearen Gleichungssystem die zugehörige erweiterte Koeffizientenmatrix herauslesen können.
• die reduzierte Stufenform einer Matrix mit dem Gauss-Jordan-Verfahren bestimmen können.
• aus der reduzierten Stufenform einer erweiterten Koeffizientenmatrix die Lösungen des dazugehörigen linearen Gleichungssystems bestimmen können.
• wissen und verstehen, was eine Linearkombination von Vektoren ist.
• beurteilen können, ob sich ein gegebener Vektor als Linearkombination anderer gegebener Vektoren ausdrücken lässt.
• einen Vektor als Linearkombination anderer Vektoren ausdrücken können.
• wissen und verstehen, was die lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit von Vektoren bedeutet.
• beurteilen können, ob eine Menge gegebener Vektoren linear abhängig bzw. unabhängig ist.
• wissen und verstehen, was der Rang einer Matrix ist.
• den Rang einer Matrix mit Hilfe von elementaren Zeilenumformungen bestimmen können.
• wissen und verstehen, wie eine ein-, zwei-, dreireihige Determinante definiert ist.
• eine ein-, zwei-, dreireihige Determinante bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der Determinante einer quadratischen Matrix und der linearen Abhängigkeit/Unabhängigkeit der Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der Matrix kennen.
• den Zusammenhang zwischen dem Rang und der Determinante einer quadratischen Matrix kennen und verstehen.
• wissen, was eine reguläre, singuläre Matrix ist.
• beurteilen können, ob eine quadratische Matrix regulär oder singulär ist.
• wissen, was ein homogenes, inhomogenes lineares Gleichungssystem ist.
• wissen, was eine triviale Lösung eines linearen Gleichungssystems ist.
• die möglichen Fälle für die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen dem Auffinden von Lösungen eines linearen Gleichungssystems und der linearen Unabhängigkeit der Spaltenvektoren der dazugehörigen Koeffizienten- und erweiterten Koeffizientenmatrix kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen der Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems und dem Rang bzw. der Determinante der dazugehörigen Koeffizienten- und erweiterten Koeffizientenmatrix kennen und verstehen.
• aus der zu einem linearen Gleichungssystem gehörigen Koeffizienten- und erweiterten Koeffizientenmatrix die Lösungsmenge des Gleichungssystems beurteilen können.
• den Zusammenhang zwischen der Existenz und Eindeutigkeit einer inversen Matrix mit der Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen eines linearen Gleichungssystems kennen und verstehen.
• wissen und verstehen, dass nur quadratische Matrizen eine Inverse besitzen können.
• wissen und verstehen, welche Eigenschaften eine quadratische Matrix besitzen muss, damit sie invertierbar ist.
• beurteilen können, ob eine Matrix invertierbar ist oder nicht.
• die Inverse einer invertierbaren Matrix mit Hilfe des Gauss-Jordan-Verfahrens bestimmen können.

• die allgemeine Definition einer Abbildung kennen und verstehen.
• wissen und verstehen, was eine lineare Abbildung ist.
• beurteilen können, ob eine gegebene Abbildung linear ist oder nicht.
• den Zusammenhang zwischen einer linearen Abbildung und einer Matrix kennen und verstehen.
• die Abbildungsmatrix einer einfacheren linearen Abbildung bestimmen können.
• die allgemeine Form der Abbildungsmatrix einer Spiegelung an einer durch den Ursprung laufenden Ebene kennen und verstehen.
• die Abbildungsmatrix einer Spiegelung an einer konkreten, durch den Ursprung laufenden Ebene bestimmen und anwenden können.
• die allgemeine Form der Abbildungsmatrix einer Projektion entlang eines Vektors auf eine durch den Ursprung laufende Ebene kennen und verstehen.
• die Abbildungsmatrix einer Projektion entlang eines konkreten Vektors und auf eine konkrekte, durch den Ursprung laufende Ebene bestimmen und anwenden können.

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