Mathematik 1/2, Bau und Gestaltung, HTW Chur, Thomas Borer, 2005/06

Lernziele

Mathematik 1
Mathematik 2

Allgemein

• selbstständig und in Gruppen Problemstellungen analysieren und bearbeiten können.
• durch das Studium schriftlicher Unterlagen einen neuen Sachverhalt erarbeiten können.
• eine neue Problemstellung analysieren und bearbeiten können.
• Lösungswege übersichtlich, vollständig und verständlich dokumentieren können.

Mathematik 1

Vektoren

• verstehen, was ein Vektor ist.
• den Unterschied zwischen einem Vektor und einem Pfeil verstehen.
• einen Vektor korrekt kennzeichnen bzw. schreiben können.
• wissen, was ein Gegenvektor ist.
• wissen, wie die Addition zweier Vektoren definiert ist.
• wissen, wie die Subtraktion zweier Vektoren definiert ist.
• wissen, wie die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl definiert ist.
• wissen, wie Vektoren analytisch, d.h. durch Komponenten beschrieben werden.
• einen Vektor korrekt mit Komponenten schreiben können.
• wissen, was der Betrag eines Vektors ist.
• Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, addieren, subtrahieren, mit Zahlen multiplizieren und deren Betrag bestimmen können.
• wissen, was ein Nullvektor, Einheitsvektor, Ortsvektor ist.
• die Grundoperationen der Vektorrechnung zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• wissen, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert ist.
• den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und einer Projektion verstehen.
• die Rechengesetze des Skalarproduktes anwenden können.
• das Skalarprodukt zweier Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, bestimmen können.
• das Skalarprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• wissen, wie das Vektorprodukt zweier Vektoren definiert ist.
• die Rechengesetze des Vektorproduktes anwenden können.
• das Vektorprodukt zweier Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, bestimmen können.
• das Vektorprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• mit dem Computerprogramm Maple Vektoren definieren und Vektoroperationen ausführen können.

• (nur Diplom) den Anwendungsbereich der analytischen Geometrie kennen.
• (nur Diplom) die Parameterdarstellung einer Geraden kennen und verstehen.
• (nur Diplom) verstehen, was ein Richtungsvektor ist.
• (nur Diplom) eine Parameterdarstellung einer Geraden bestimmen können.
• (nur Diplom) den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen können.
• (nur Diplom) die Parameterdarstellung einer Geraden bei der Bearbeitung geometrischer Problemstellungen anwenden können.
• (nur Diplom) die Parameterdarstellung einer Ebene kennen und verstehen.
• (nur Diplom) eine Parameterdarstellung einer Ebene bestimmen können.
• (nur Diplom) den Schnittpunkt zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmen können.
• (nur Diplom) die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene beurteilen können.
• (nur Diplom) die Schnittgerade zweier sich schneidender Ebenen bestimmen können.
• (nur Diplom) die gegenseitige Lage zweier Ebenen beurteilen können.
• (nur Diplom) neue geometrische Problemstellungen mit Hilfe der Parameterdarstellung einer Geraden sowie der Parameterdarstellung einer Ebene analysieren und lösen können.
• (nur Diplom) wissen, dass Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel Kegelschnitte sind.
• (nur Diplom) die geometrischen Definitionen von Kreis und Parabel kennen und verstehen.
• (nur Diplom) die Gleichung des Kreises kennen und verstehen.
• (nur Diplom) aus bekannten Eigenschaften eines Kreises dessen Gleichung bestimmen können.
• (nur Diplom) die Kreisgleichung zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• (nur Diplom) verstehen, dass eine Parabel als Graf einer quadratischen Funktion aufgefasst werden kann.
• (nur Diplom) die Parabelgleichung zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.

Funktionen

• verstehen, was eine Funktion ist.
• die Begriffe "Definitionsbereich", "Zielbereich" und "Bildbereich" verstehen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• beurteilen können, ob eine gegebene Zuordnung eine Funktion ist oder nicht.
• die verschiedenen Darstellungsarten einer Funktion kennen.
• die Funktionsvorschrift einer Funktion korrekt formulieren können.
• eine Funktion in einem Pfeildiagramm, in einer Tabelle darstellen können.
• den Bildbereich einer gegebenen Funktion bestimmen können.
• Funktionswerte einer gegebenen Funktion bestimmen können.
• verstehen, wie zwei Funktionen verknüpft werden.
• die Verknüpfung zweier Funktionen bilden können.
• eine gegebene Funktion als Verknüpfung zweier Funktionen darstellen können.
• verstehen, was eine injektive, surjektive, bijektive Funktion ist.
• beurteilen können, ob eine Funktion injektiv, surjektiv, bijektiv ist oder nicht.
• verstehen, was eine Umkehrfunktion ist.
• verstehen, dass eine Funktion genau dann eine Umkehrfunktion besitzt, wenn sie bijektiv ist.
• die zu einer einfacheren bijektiven Funktion gehörige Umkehrfunktion bestimmen können.
• die Eigenschaften des Grafen einer bijektiven Funktion kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen dem Grafen einer bijektiven Funktion und dem Grafen der dazugehörigen Umkehrfunktion verstehen.
• verstehen, was eine Nullstelle einer Funktion ist.
• die Nullstellen einer einfacheren Funktion von Hand bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer Funktion und den Lösungen einer Gleichung verstehen.
• mit dem Computerprogramm Maple eine Funktion definieren, deren Grafen zeichnen und deren Nullstellen bestimmen können.
• einfachere Gleichungen von Hand lösen können.
• mit Hilfe des Computerprogrammes Maple eine Gleichung bzw. ein Gleichungssystem lösen können.
• ein zur Lösung einer einfacheren Textaufgabe gehöriges Gleichungssystem aufstellen können.

• die Definition einer ganzrationalen Funktion oder Polynomfunktion kennen.
• wissen, was man unter dem Grad einer Polynomfunktion versteht.
• die Definition einer konstanten, linearen Funktion kennen.
• verstehen, dass der Graf einer konstanten, linearen Funktion eine Gerade ist.
• Beispiele von Grössen aus Natur und Technik kennen, deren Beziehung durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann.
• die Definition einer quadratischen Funktion kennen.
• wissen, dass der Graf einer quadratischen Funktion eine Parabel ist.
• Beispiele von Grössen aus Technik und Alltag kennen, deren Beziehung durch eine lineare Funktion beschrieben werden kann.
• den Grafen einer konstanten, linearen, quadratischen Funktion skizzieren können.
• die Existenz von Nullstellen einer konstanten, linearen, quadratischen Funktion beurteilen können.
• die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität einer konstanten, linearen, quadratischen Funktion beurteilen können.
• die Umkehrfunktion einer bijektiven linearen, quadratischen Funktion bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen den Grafen einer bijektiven Funktion und deren Umkehrfunktion kennen und verstehen.
• den Einfluss einer Verschiebung, Skalierung auf den Grafen einer Funktion kennen und verstehen.
• die Normalform der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion von Hand in die Scheitelpunktsform und umgekehrt umformen können.
• die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion bestimmen können, welche in einer konkreten Problemstellung den quadratischen Zusammenhang zweier Grössen beschreibt.
• die Definition einer Potenz-, Wurzelfunktion kennen.
• Beispiele von Grössen aus Natur und Technik kennen, deren Beziehung durch eine Potenz-, Wurzelfunktion beschrieben werden kann.
• den Grafen einer Potenz-, Wurzelfunktion skizzieren können.
• die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität einer Potenz-, Wurzelfunktion beurteilen können.
• die Umkehrfunktion einer bijektiven Potenz-, Wurzelfunktion bestimmen können.
• verstehen, dass eine Wurzelfunktion die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion ist.
• den Einfluss einer Verschiebung, Skalierung auf den Grafen einer Funktion kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen den Grafen einer bijektiven Funktion und deren Umkehrfunktion kennen und verstehen.
• aus dem Grafen einer Funktion charakteristische Eigenschaften der Funktion herauslesen können.
• die Definition einer gebrochenrationalen Funktion kennen.
• den Unterschied zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen kennen.
• charakteristische Eigenschaften einer Polynomfunktion kennen.
• charakteristische Eigenschaften einer gebrochenrationalen Funktion kennen.
• die Definitionen der trigonometrischen Grundfunktionen sin, cos, tan, cot am Einheitskreis kennen.
• die Grafen der trigonometrischen Grundfunktionen kennen und verstehen.
• verstehen, dass die trigonometrischen Funktionen periodisch sind.
• die Begriffe "Amplitude", "Periode" und "Phasenverschiebung" verstehen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• den Einfluss einer Verschiebung, Skalierung auf die Amplitude, Periode und Phasenverschiebung einer trigonometrischen Funktion kennen und verstehen.
• die Amplitude, Periode und Phasenverschiebung einer trigonometrischen Funktion bestimmen können.
• den Grafen einer einfacheren trigonometrischen Funktion skizzieren können.
• die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität einer trigonometrischen Funktion beurteilen können.
• die Definitionen der Arkusfunktionen arcsin, arccos, arctan, arccot kennen.
• die Grafen der Arkusfunktionen kennen und verstehen.
• die Lösungen einer einfacheren trigonometrischen Gleichung von Hand bestimmen können.
• die Umkehrfunktion einer einfacheren trigonometrischen Funktion bestimmen können.
• die Definition der Exponentialfunktion kennen.
• den Grafen der Exponentialfunktion kennen.
• Beispiele von Grössen kennen, die im zeitlichen Verlauf exponentiell wachsen oder fallen.
• den zeitlichen Velauf einer exponentiell wachsenden oder fallenden Grösse mit einer Exponentialfunktion beschreiben können.
• die Umkehrbarkeit der Exponentialfunktion beurteilen können.
• verstehen, dass jeder exponentielle Verlauf durch eine Exponentialfunktion mit der Basis e ausgedrückt werden kann.
• verstehen, dass die relative Änderung einer sich zeitlich exponentiell veränderlichen Grösse in gleichen Zeitbereichen gleich ist.
• den Begriff der Halbwertszeit verstehen.
• die Definition der Logarithmusfunktion kennen.
• wissen, dass die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist.
• den Grafen der Logarithmusfunktion kennen.
• einfachere Logarithmen von Hand berechnen können.
• die Rechenregeln für Logarithmen kennen und anwenden können.
• wissen, dass die Logarithmengesetze aus den Potenzgesetzen folgen.
• die einfach-logarithmische Darstellung von Exponentialfunktionen und deren Nutzen verstehen.
• die doppelt-logarithmische Darstellung von Potenzfunktionen und deren Nutzen verstehen.
• die Beziehung zwischen Schallintensität und Schallpegel als Beispiel einer Logarithmusfunktion kennen.
• wissen, dass sich die hyperbolischen Funktionen aus Exponentialfunktionen zusammensetzen.
• die Grafen der hyperbolischen Funktionen kennen.
• die Kettenlinie als Anwendung des Cosinus hyperbolicus kennen.

• verstehen, was eine reelle Zahlenfolge ist.
• eine reelle Zahlenfolge als diskrete Funktion verstehen.
• verstehen, was das Bildungsgesetz einer reellen Zahlenfolge ist.
• aus dem Bildungsgesetz einer reellen Zahlenfolge die einzelnen Folgeglieder bestimmen können.
• das Bildungsgesetz einfacherer reeller Zahlenfolgen bestimmen können.
• verstehen, was der Grenzwert einer reellen Zahlenfolge ist.
• die symbolische Schreibweise für den Grenzwert verstehen und korrekt anwenden können.
• die Begriffe "konvergent" und "divergent" kennen und verstehen.
• beurteilen können, ob eine einfachere reelle Zahlenfolge konvergent oder divergent ist.
• den Grenzwert einer einfacheren konvergenten Zahlenfolge bestimmen können.
• verstehen, was der Grenzwert einer Funktion ist.
• verstehen, was der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert einer Funktion ist.
• die symbolische Schreibweise für den Grenzwert einer Funktion kennen und korrekt anwenden können.
• einfachere Grenzwerte von Funktionen bestimmen können.
• verstehen, wie die Stetigkeit einer Funktion definiert ist.
• verstehen, was eine Stetigkeits- bzw. Unstetigkeitsstelle einer Funktion ist.
• beurteilen können, ob eine einfachere Funktion an einer bestimmten Stelle stetig ist oder nicht.

Mathematik 2

Differentialrechnung

• verstehen, dass man zur Bestimmung der Steigung einer krummlinigen Kurve ein anderes Verfahren benötigt als zur Bestimmung der Steigung einer Geraden.
• das Bestimmen von Extremalwerten als eine Anwendung der Differentialrechnung verstehen.
• verstehen, was ein Differenzenquotient ist.
• verstehen, wie die Ableitung einer Funktion definiert ist.
• den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und der Steigung deren Grafen in einem Kurvenpunkt verstehen.
• verstehen, was ein Differential, ein Differentialquotient ist.
• die Ableitung einer einfachen Funktion direkt aus der Definition der Ableitung von Hand bestimmen können.
• die Ableitung einer Grundfunktion mit Hilfe einer Ableitungs-Tabelle bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der Stetigkeit und der Differenzierbarkeit einer Funktion verstehen.
• die Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotientenregel auswendig kennen.
• die Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotientenregel zur Bestimmung der Ableitung einfacherer Funktionen anwenden können.
• die Kettenregel verstehen und zur Bestimmung der Ableitung einfacherer zusammengesetzter Funktionen anwenden können.
• wissen, was höhere Ableitungen sind.
• höhere Ableitungen einfacherer Funktionen von Hand und mit Hilfe einer Ableitungs-Tabelle bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung einer Funktion und dem Steigen und Fallen des Grafen der Funktion verstehen und anwenden können.
• den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung einer Funktion und dem Krümmungsverhalten des Grafen der Funktion verstehen und anwenden können.
• verstehen, was ein relatives Maximum, ein relatives Minimum ist.
• verstehen, was ein Wendepunkt, ein Sattelpunkt ist.
• notwendige und hinreichende Bedingungen für ein relatives Maximum, ein relatives Minimum, einen Wendepunkt, einen Sattelpunkt kennen und verstehen.
• relative Maxima, relative Minima und Wendepunkte einer einfacheren Funktion von Hand bestimmen können.
• die Ableitung einer Funktion mit dem Computerprogramm Maple bestimmen können.
• eine einfache Kurvendiskussion mit dem Computerprogramm Maple ausführen können.
• wissen, was der Gradient einer Funktion mit einer Variablen ist.
• den Gradienten einer Funktion erkennen und bestimmen können.
• die Differentialrechnung zur Lösung von Extremwertaufgaben anwenden können.

Integralrechnung

• verstehen, dass man zur Bestimmung des Flächeninhaltes einer krummlinig umrandeten Fläche im Allgemeinen ein anderes Verfahren benötigt als zur Bestimmung des Flächeninhaltes einer geradlinig umrandeten Fläche.
• die Begriffe "Untersumme" und "Obersumme" verstehen.
• verstehen, dass die Fläche zwischen dem Grafen einer Funktion und der Abszissenachse der Grenzwert einer Unter- bzw. Obersumme ist.
• verstehen, wie das bestimmte Integral einer Funktion definiert ist.
• die symbolische Schreibweise für ein bestimmtes Integral kennen und korrekt schreiben können.
• die Begriffe "Integrand", "Integrationsvariable", "untere Integrationsgrenze", "obere Integrationsgrenze" kennen und verstehen.
• verstehen, was eine Flächenfunktion ist.
• den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung kennen und verstehen.
• verstehen, was eine Stammfunktion ist.
• verstehen, wie das unbestimmte Integral einer Funktion definiert ist.
• verstehen, wie man ein bestimmtes Integral einer Funktion mit Hilfe einer Stammfunktion berechnet.
• die elementaren Integrationsregeln kennen und verstehen.
• eine Stammfunktion, ein unbestimmtes, ein bestimmtes Integral mit Hilfe einer Tabelle mit Grundintegralen und unter Anwendung der elementaren Integrationsregeln bestimmen können.
• verstehen, dass die Substitutionsmethode auf einer Verknüpfung zweier Funktionen beruht.
• den Zusammenhang zwischen der Substitutionsmethode und der Kettenregel der Differentialrechnung verstehen.
• einfachere Integrale mit Hilfe einer geeigneten Substitution bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der partiellen Integration und der Produktregel der Differentialrechnung verstehen.
• einfachere Integrale mit Hilfe der partiellen Integration bestimmen können.
• einfachere gebrochenrationale Funktionen mit Hilfe der Partialbruchzerlegung integrieren können.
• verstehen, was ein uneigentliches Integral ist.
• ein uneigentliches Integral bestimmen können.
• (nur Bachelor) die numerischen Integrationsmethoden nach der Trapezformel und der Simpsonschen Formel verstehen.
• (nur Bachelor) ein bestimmtes Integral näherungsweise nach der Trapezformel berechnen können.
• den Zusammenhang zwischen Flächeninhalten und bestimmten Integralen verstehen.
• den Flächeninhalt einer Fläche zwischen einer Kurve und der Abszisse mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• den Flächeninhalt einer Fläche zwischen zwei Kurven mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• (nur Bachelor) den Zusammenhang zwischen dem Strom einer mengenartigen Grösse und der in einer bestimmten Zeitspanne geflossenen Menge verstehen.
• (nur Bachelor) aus dem zeitlichen Verlauf des Stromes einer mengenartigen Grösse die in einer bestimmten Zeitspanne geflossene Menge mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• (nur Bachelor) den Zusammenhang zwischen der Änderungsrate einer Grösse und der Änderung der Grösse in einer bestimmten Zeitspanne verstehen.
• (nur Bachelor) aus dem zeitlichen Verlauf der Änderungsrate einer Grösse die Änderung der Grösse in einer bestimmten Zeitspanne mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• das Volumen eines Rotationskörpers mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• (nur Bachelor) den Schwerpunkt einer einfacheren homogenen Fläche mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• (nur Bachelor) den Schwerpunkt eines einfacheren homogenen Rotationskörpers mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.

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