Mathematik 1, Bau und Gestaltung, HTW Chur, Thomas Borer, 2004/05

Lernziele

Allgemein

• selbstständig und in Gruppen Problemstellungen analysieren, lösen und beurteilen können.
• durch das Studium schriftlicher Unterlagen einen neuen Sachverhalt erarbeiten können.
• einen neuen Sachverhalt analysieren können.
• Lösungswege übersichtlich, vollständig und verständlich dokumentieren können.

Funktionen

• verstehen, was eine Gleichung ist.
• verstehen, was eine Aussage, eine Aussageform ist.
• beurteilen können, ob eine Gleichung eine Aussage oder eine Aussageform ist.
• verstehen, was eine Identität, eine Bestimmungsgleichung ist.
• beurteilen können, ob eine Gleichung eine Identität oder eine Bestimmungsgleichung ist.
• verstehen, was die Äquivalenz zweier Gleichungen bedeutet.
• verstehen, was eine Äquivalenzumformung ist.
• beurteilen können, ob eine Umformung eine Äquivalenzumformung ist oder nicht.
• einfachere Gleichungen von Hand lösen können.
• mit Hilfe des Computerprogrammes MAPLE eine Gleichung bzw. ein Gleichungssystem lösen können.
• ein zur Lösung einer einfacheren Textaufgabe gehöriges Gleichungssystem aufstellen können.
• verstehen, was eine Funktion ist.
• die Begriffe "Definitionsbereich", "Zielbereich" und "Bildbereich" verstehen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• beurteilen können, ob eine gegebene Zuordnung eine Funktion ist oder nicht.
• den Bildbereich einer gegebenen Funktion bestimmen können.
• den Begriff "Funktionswert" verstehen, d.h. erklären können, wie er definiert ist bzw. was er bedeutet.
• Funktionswerte vorgegebener Funktionen bestimmen können.
• wissen, wie Funktionen dargestellt werden.
• verstehen, was eine Nullstelle einer Funktion ist.
• die Nullstellen einer einfacheren Funktion von Hand bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer Funktion und den Lösungen einer Gleichung verstehen.
• verstehen, was eine bijektive Funktion ist.
• beurteilen können, ob eine Funktion bijektiv ist oder nicht.
• verstehen, was eine Umkehrfunktion ist.
• verstehen, dass eine Funktion genau dann eine Umkehrfunktion besitzt, wenn sie bijektiv ist.
• die zu einer einfacheren bijektiven Funktion gehörige Umkehrfunktion bestimmen können.
• die Eigenschaften des Grafen einer bijektiven Funktion kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen dem Grafen einer bijektiven Funktion und dem Grafen der dazugehörigen Umkehrfunktion verstehen.
• die Umkehrfunktion einer linearen Funktion bestimmen können.
• mit dem Computerprogramm MAPLE eine Funktion definieren, deren Grafen zeichnen und deren Nullstellen bestimmen können.
• die Definition einer ganzrationalen Funktion oder Polynomfunktion kennen.
• wissen, was man unter dem Grad einer Polynomfunktion versteht.
• den Unterschied zwischen einer Polynom- und einer Potenzfunktion verstehen.
• die charakteristischen Eigenschaften einer Polynomfunktion analysieren können.
• die charakteristischen Eigenschaften einer Polynomfunktion kennen.
• die Definition einer quadratischen Funktion kennen.
• die Normalform einer quadratischen Funktion kennen.
• wissen, dass der Graf einer quadratischen Funktion eine Parabel ist.
• die Produkt- und die Scheitelpunktsform einer quadratischen Funktion kennen.
• von Hand die Normalform in die Scheitelpunktsform und umgekehrt umformen können.
• den Zusammenhang zwischen der Lage der Parabel und den Parametern in der Scheitelpunktsform verstehen.
• aus der Scheitelpunktsform den Grafen einer quadratischen Funktion von Hand richtig skizzieren können.
• die Umkehrbarkeit einer quadratischen Funktion beurteilen können.
• die Definition einer gebrochenrationalen Funktion kennen.
• den Unterschied zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen kennen.
• wissen, was ein Pol einer gebrochenrationalen Funktion ist.
• das charakteristische Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion in der Nähe eines Poles kennen undverstehen.
• verstehen, was eine Asymptote ist.
• das asymptotische Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen mit Hilfe von MAPLE analysieren können.
• die Definition einer Potenzfunktion kennen.
• die charakteristischen Eigenschaften einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten analysierenkönnen.
• die charakteristischen Eigenschaften einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten kennen.
• aus der Funktionsgleichung den Grafen einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten von Hand richtig skizzieren können.
• die Umkehrbarkeit einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten beurteilen können.
• die Definition einer Wurzelfunktion kennen.
• den Definitionsbereich einer Wurzelfunktion kennen.
• verstehen, dass eine Wurzelfunktion die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion ist.
• die Umkehrfunktion einer einfacheren Potenzfunktion bestimmen können.
• die charakteristischen Eigenschaften einer Wurzelfunktion analysieren können.
• die charakteristischen Eigenschaften einer Wurzelfunktion kennen.
• aus der Funktionsgleichung den Grafen einer Wurzelfunktion von Hand richtig skizzieren können.
• eine Potenzfunktion mit rationalem Exponenten als Kombination von Potenz- und Wurzelfunktion verstehen.
• die Definitionen der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan und cot sowohl am Einheitskreis als auch am rechtwinkligen Dreieck kennen.
• verstehen, dass die trigonometrischen Funktionen periodisch sind.
• die charakteristischen Eigenschaften einer trigonometrischen Funktion analysieren können.
• die charakteristischen Eigenschaften einer trigonometrischen Funktion kennen.
• aus der Funktionsgleichung den Grafen einer trigonometrischen Funktion von Hand richtig skizzieren können.
• die Umkehrbarkeit einer trigonometrischen Funktion beurteilen können.
• die Definitionen der Arkusfunktionen arcsin, arccos, arctan und arccot kennen.
• die charakteristischen Eigenschaften einer Arkusfunktion kennen.
• aus der Funktionsgleichung den Grafen einer Arkusfunktion von Hand richtig skizzieren können.
• die Definition einer Exponentialfunktion kennen.
• die charakteristischen Eigenschaften einer Exponentialfunktion analysieren können.
• die charakteristischen Eigenschaften einer Exponentialfunktion kennen.
• aus der Funktionsgleichung den Grafen einer Exponentialfunktion von Hand richtig skizzieren können.
• die Umkehrbarkeit einer Exponentialfunktion beurteilen können.
• die Definition einer Logarithmusfunktion kennen.
• die charakteristischen Eigenschaften einer Logarithmusfunktion kennen.
• die Umkehrfunktion einer einfacheren Exponentialfunktion bestimmen können.
• aus der Funktionsgleichung den Grafen einer Logarithmusfunktion von Hand richtig skizzieren können.
• die Rechenregeln für Logarithmen kennen.
• den Zusammenhang zwischen den Potenz- und den Logarithmengesetzen verstehen.
• den Basiswechsel bei Logarithmen verstehen.
• wissen, dass sich die hyperbolischen Funktionen aus Exponentialfunktionen zusammensetzen.
• die Kettenlinie als Anwendung des Cosinus hyperbolicus kennen.
• die Grafen der hyperbolischen Funktionen verstehen.
• aus der Funktionsgleichung einer einfacheren Funktion den Grafen der Funktion zeichnen können.
• aus Eigenschaften einer einfacheren Funktion bzw. aus deren Grafen die Funktionsgleichung bestimmen können.
• den Begriff der Halbwertszeit verstehen.

Analytische Geometrie

• verstehen, was ein Vektor ist.
• den Unterschied zwischen einem Vektor und einem Pfeil verstehen.
• einen Vektor korrekt kennzeichnen bzw. schreiben können.
• wissen, wie die Addition zweier Vektoren definiert ist.
• wissen, wie die Subtraktion zweier Vektoren definiert ist.
• wissen, wie die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl definiert ist.
• wissen, wie Vektoren analytisch, d.h. durch Komponenten beschrieben werden.
• mit der Komponentendarstellung von Vektoren umgehen können.
• Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, addieren, subtrahieren, mit Zahlen multiplizieren und deren Betrag bestimmen können.
• die Grundoperationen der Vektorrechnung zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• wissen, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert ist.
• den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und einer Projektion verstehen.
• die Rechengesetze des Skalarproduktes anwenden können.
• das Skalarprodukt zweier Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, bestimmen können.
• das Skalarprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• wissen, wie das Vektorprodukt zweier Vektoren definiert ist.
• die Rechengesetze des Vektorproduktes anwenden können.
• das Vektorprodukt zweier Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, bestimmen können.
• das Vektorprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• den Anwendungsbereich der analytischen Geometrie kennen.
• die Parameterdarstellung einer Geraden kennen und verstehen.
• verstehen, was ein Richtungsvektor ist.
• eine Parameterdarstellung einer Geraden bestimmen können.
• aus der Parameterdarstellung einer Geraden die Funktionsgleichung der dazugehörigen linearen Funktion bestimmen können.
• die Parameterdarstellung einer Geraden bei der Bearbeitung geometrischer Problemstellungen anwenden können.
• den Schnittpunkt zweier Geraden bestimmen können.
• die Parameterdarstellung einer Ebene kennen und verstehen.
• eine Parameterdarstellung einer Ebene bestimmen können.
• die Koordinatendarstellung einer Ebene kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen einer Parameter- und einer Koordinatendarstellung einer Ebene verstehen.
• aus der Parameterdarstellung einer Ebene eine Koordinatendarstellung herleiten können und umgekehrt.
• die Parameter- und die Koordinatendarstellung einer Ebene zur Lösung geometrischer Probleme anwenden können.
• den Schnittpunkt zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmen können.
• die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene beurteilen können.
• die gegenseitige Lage zweier Ebenen beurteilen können.
• die Schnittgerade zweier sich schneidender Ebenen bestimmen können.
• neue geometrische Problemstellungen mit Hilfe der Parameterdarstellung einer Geraden sowie der Parameter- und Koordinatendarstellung einer Ebene analysieren und lösen können.
• wissen, dass Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel Kegelschnitte sind.
• die geometrischen Definitionen von Kreis und Parabel kennen und verstehen.
• die Gleichung des Kreises kennen und verstehen.
• aus bekannten Eigenschaften eines Kreises dessen Gleichung bestimmen können.
• verstehen, dass nur ein Teil eines Kreises als Graf einer Funktion aufgefasst werden kann.
• die Kreisgleichung zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• verstehen, dass eine Parabel als Graf einer quadratischen Funktion aufgefasst werden kann.
• die Parabelgleichung zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.

Differentialrechnung

• verstehen, dass man zur Bestimmung der Steigung einer krummlinigen Kurve ein anderes Verfahren benötigt als zur Bestimmung der Steigung einer Geraden.
• das Bestimmen von Extremalwerten als eine Anwendung der Differentialrechnung verstehen.
• verstehen, was eine reelle Zahlenfolge ist.
• eine reelle Zahlenfolge als diskrete Funktion verstehen.
• verstehen, was das Bildungsgesetz einer reellen Zahlenfolge ist.
• aus dem Bildungsgesetz einer reellen Zahlenfolge die einzelnen Folgeglieder bestimmen können.
• das Bildungsgesetz einfacherer reeller Zahlenfolgen bestimmen können.
• verstehen, was der Grenzwert einer reellen Zahlenfolge ist.
• die symbolische Schreibweise für den Grenzwert verstehen und korrekt anwenden können.
• die Begriffe "konvergent" und "divergent" kennen und verstehen.
• beurteilen können, ob eine einfachere reelle Zahlenfolge konvergent oder divergent ist.
• den Grenzwert einer einfacheren konvergenten Zahlenfolge bestimmen können.
• verstehen, was der links- bzw. rechtsseitige Grenzwert einer Funktion ist.
• verstehen, was der Grenzwert einer Funktion ist.
• die symbolische Schreibweise für den Grenzwert einer Funktion kennen und korrekt anwenden können.
• einfachere Grenzwerte von Funktionen bestimmen können.
• verstehen, wie die Stetigkeit einer Funktion definiert ist.
• verstehen, was eine Stetigkeits- bzw. Unstetigkeitsstelle einer Funktion ist.
• verstehen, was eine Definitionslücke einer Funktion ist.
• verstehen, unter welchen Umständen eine Definitionslücke einer Funktion stetig behebbar ist.
• beurteilen können, ob eine einfachere Funktion an einer bestimmten Stelle stetig ist oder nicht.
• verstehen, was ein Differenzenquotient ist.
• verstehen, wie die Ableitung einer Funktion definiert ist.
• den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und der Steigung deren Grafen in einem Kurvenpunkt verstehen.
• verstehen, was ein Differential, ein Differentialquotient ist.
• die Ableitung einer einfachen Funktion direkt aus der Definition der Ableitung von Hand bestimmen können.
• die Ableitung einer Grundfunktion mit Hilfe einer Tabelle bestimmen können.
• die Ableitung einer Funktion mit dem Computerprogramm MAPLE bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der Stetigkeit und der Differenzierbarkeit einer Funktion verstehen.
• die Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotientenregel auswendig kennen.
• die Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotientenregel zur Bestimmung der Ableitung einfacherer Funktionen anwenden können.
• die Kettenregel verstehen und zur Bestimmung der Ableitung einfacherer zusammengesetzter Funktionen anwenden können.
• wissen, was höhere Ableitungen sind.
• höhere Ableitungen einfacherer Funktionen von Hand und mit Hilfe einer Tabelle bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen der ersten Ableitung einer Funktion und dem Steigen und Fallen des Grafen der Funktion verstehen und anwenden können.
• den Zusammenhang zwischen der zweiten Ableitung einer Funktion und dem Krümmungsverhalten des Grafen der Funktion verstehen und anwenden können.
• verstehen, was ein relatives Maximum, ein relatives Minimum ist.
• verstehen, was ein Wendepunkt, ein Sattelpunkt ist.
• notwendige und hinreichende Bedingungen für ein relatives Maximum, ein relatives Minimum, einen Wendepunkt, einen Sattelpunkt kennen und verstehen.
• relative Maxima, relative Minima und Wendepunkte einer einfacheren Funktion von Hand bestimmen können.
• eine einfache Kurvendiskussion mit dem Computerprogramm MAPLE ausführen können.
• die Differentialrechnung zur Lösung von Extremwertaufgaben anwenden können.

Integralrechnung

• verstehen, dass man zur Bestimmung des Flächeninhaltes einer krummlinig umrandeten Fläche im Allgemeinen ein anderes Verfahren benötigt als zur Bestimmung des Flächeninhaltes einer geradlinig umrandeten Fläche.
• die Begriffe "Untersumme" und "Obersumme" verstehen.
• verstehen, dass die Fläche zwischen dem Grafen einer Funktion und der Abszissenachse der Grenzwert einer Unter- bzw. Obersumme ist.
• verstehen, wie das bestimmte Integral einer Funktion definiert ist.
• die symbolische Schreibweise für ein bestimmtes Integral kennen und korrekt schreiben können.
• die Begriffe "Integrand", "Integrationsvariable", "untere Integrationsgrenze", "obere Integrationsgrenze" kennen und verstehen.
• verstehen, was eine Flächenfunktion ist.
• den Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung kennen und verstehen.
• verstehen, was eine Stammfunktion ist.
• verstehen, wie das unbestimmte Integral einer Funktion definiert ist.
• verstehen, wie man ein bestimmtes Integral einer Funktion mit Hilfe einer Stammfunktion berechnet.
• die elementaren Integrationsregeln kennen und verstehen.
• eine Stammfunktion, ein unbestimmtes, ein bestimmtes Integral mit Hilfe einer Tabelle mit Grundintegralen und unter Anwendung der elementaren Integrationsregeln bestimmen können.
• einfachere Flächeninhalte mit Hilfe des bestimmten Integrals berechnen können.
• einfachere Integrale mit Hilfe einer geeigneten Substitution bestimmen können.
• verstehen, was ein uneigentliches Integral ist.
• ein uneigentliches Integral bestimmen können.
• einfachere ebene Flächen mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.
• die Bogenlänge einer ebenen Kurve mit Hilfe der Integralrechnung bestimmen können.

Home