Mathematik 1, Bau und Gestaltung, Thomas Borer, HTW Chur, 2001/02

Lernziele

Allgemein

• selbstständig und in Gruppen Problemstellungen analysieren, lösen und beurteilen können.
• durch das Studium schriftlicher Unterlagen neue Sachverhalte erarbeiten können.
• neue Sachverhalte analysieren können.
• Lösungswege übersichtlich, vollständig und verständlich dokumentieren können.

Gleichungen und Funktionen

• verstehen, was eine Gleichung ist.
• beurteilen können, ob eine Gleichung eine Identität oder eine Bestimmungsgleichung ist.
• beurteilen können, ob zwei Gleichungen äquivalent sind oder nicht.
• beurteilen können, ob eine Umformung eine Aequivalenzumformung ist oder nicht.
• eine lineare Gleichung von Hand lösen können.
• ein zur Lösung einer einfacheren Textaufgabe gehöriges Gleichungssystem aufstellen können.
• mit Hilfe des Computerprogrammes MAPLE eine Gleichung bzw. ein Gleichungssystem lösen können.
• verstehen, was eine Abbildung ist.
• die Begriffe "Definitionsbereich", "Bildbereich" verstehen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• eine Abbildung als Pfeildiagramm darstellen können.
• beurteilen können, ob eine gegebene Zuordnung eine Abbildung ist oder nicht.
• den Bildbereich einer gegebenen Abbildung bestimmen können.
• verstehen, was eine Funktion ist.
• die Begriffe "Wertebereich", "Funktionswert" verstehen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• eine Funktion als Pfeildiagramm, Wertetabelle, Funktionsvorschrift, Graf darstellen können.
• beurteilen können, ob eine gegebene Zuordnung eine Funktion ist oder nicht.
• den Definitionsbereich und den Wertebereich einer gegebenen Funktion bestimmen können.
• Funktionswerte vorgegebener Funktionen bestimmen können.
• den Zusammenhang zwischen den Nullstellen einer Funktion und den Lösungen einer Gleichung verstehen.
• die Formel zur Lösung einer quadratischen Gleichung kennen.
• eine quadratische Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel von Hand lösen können.
• angewandte Aufgaben zur linearen und quadratischen Funktion lösen können.
• mit dem Computerprogramm MAPLE eine Funktion definieren und grafisch darstellen können.
• angewandte Aufgaben zu Funktionen mit dem Computerprogramm MAPLE lösen können.

Vektoren

• verstehen, was ein Vektor ist.
• den Unterschied zwischen einem Vektor und einem Pfeil verstehen.
• Anwendungen von Vektoren kennen.
• wissen, wie man einen Vektor kennzeichnet bzw. schreibt.
• die Begriffe "Skalar", "Betrag", "Nullvektor", "Einheitsvektor", "Ortsvektor", "parallel", "anti-parallel", "kollinear", "Gegenvektor", "Summenvektor" und "Differenzvektor" verstehen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• wissen, wie die Addition zweier Vektoren definiert ist.
• verstehen, dass die Vektoraddition sowohl das Kommutativ- als auch das Assoziativgesetz erfüllt.
• wissen, wie die Subtraktion zweier Vektoren definiert ist.
• wissen, wie die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl definiert ist.
• wissen, wie Vektoren analytisch, d.h. durch Komponenten beschrieben werden.
• mit der Komponentendarstellung von Vektoren umgehen können.
• Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, addieren, subtrahieren, mit Zahlen multiplizieren und deren Betrag bestimmen können.
• mit Hilfe des Computerprogrammes MAPLE Vektor-Grundoperationen ausführen können.
• wissen, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert ist.
• den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und einer Projektion verstehen.
• die Rechengesetze des Skalarproduktes kennen, verstehen und anwenden können.
• das Skalarprodukt zweier Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, bestimmen können.
• das Skalarprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• mit Hilfe des Computerprogrammes MAPLE das Skalarprodukt zweier Vektoren bestimmen können.
• mit Hilfe des Computerprogrammes MAPLE konkrete Aufgabenstellungen rund um das Skalarprodukt lösen können.
• wissen, wie das Vektorprodukt zweier Vektoren definiert ist.
• die Rechengesetze des Vektorproduktes kennen, verstehen und anwenden können.
• das Vektorprodukt zweier Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, bestimmen können.
• das Vektorprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• mit Hilfe des Computerprogrammes MAPLE das Vektorprodukt zweier Vektoren ausführen können.
• mit Hilfe des Computerprogrammes MAPLE konkrete Aufgabenstellungen rund um das Vektorprodukt lösen können.

Analytische Geometrie

• den Anwendungsbereich der analytischen Geometrie kennen.
• die Parameterdarstellung einer Geraden kennen und verstehen.
• verstehen, was ein Richtungsvektor ist.
• eine Parameterdarstellung einer Geraden bestimmen können.
• aus der Parameterdarstellung einer Geraden die Funktionsgleichung der dazugehörigen linearen Funktion bestimmen können.
• die Parameterdarstellung einer Geraden bei der Bearbeitung geometrischer Problemstellungen anwenden können.
• die Herleitung der Formeln zur Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden, des Abstandes zwischen zwei Geraden, des Schnittwinkels zwischen zwei Geraden verstehen.
• den Abstand eines Punktes von einer Geraden sowie den Abstand zweier Geraden bestimmen können.
• den Schnittpunkt und den Schnittwinkel zweier Geraden bestimmen können.
• die Parameterdarstellung einer Ebene kennen und verstehen.
• eine Parameterdarstellung einer Ebene bestimmen können.
• die Koordinatendarstellung einer Ebene kennen und verstehen.
• den Zusammenhang zwischen einer Parameter- und einer Koordinatendarstellung einer Ebene verstehen.
• aus der Parameterdarstellung einer Ebene eine Koordinatendarstellung herleiten können und umgekehrt.
• die Parameter- und die Koordinatendarstellung einer Ebene sowie die Abstandsformeln zur Lösung geometrischer Probleme anwenden können.
• die Herleitung der Formeln zur Bestimmung des Abstandes eines Punktes von einer Ebene, des Abstandes zwischen einer Geraden und einer Ebene, des Abstandes zwischen zwei Ebenen verstehen.
• den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene, einer Geraden und einer Ebene, zwei Ebenen bestimmen können.
• den Schnittpunkt zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmen können.
• die Herleitung der Formel zur Bestimmung des Schnittwinkels zwischen einer Geraden und einer Ebene verstehen.
• den Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene bestimmen können.
• die gegenseitige Lage einer Geraden und einer Ebene beurteilen können.
• die gegenseitige Lage zweier Ebenen beurteilen können.
• die Schnittgerade zweier sich schneidender Ebenen bestimmen können.
• die Herleitung der Formel zur Bestimmung des Schnittwinkels zwischen zwei sich schneidender Ebenen verstehen.
• den Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen bestimmen können.
• neue geometrische Problemstellungen mit Hilfe der Parameterdarstellung einer Geraden sowie der Parameter- und Koordinatendarstellung einer Ebene analysieren und lösen können.
• wissen, dass Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel Kegelschnitte sind.
• die geometrischen Definitionen von Kreis und Parabel verstehen.
• die Gleichung des Kreises kennen und verstehen.
• aus bekannten Eigenschaften eines Kreises dessen Gleichung bestimmen können.
• verstehen, dass nur ein Teil eines Kreises als Graf einer Funktion aufgefasst werden kann.
• verstehen, dass eine Parabel als Graf einer quadratischen Funktion aufgefasst werden kann.
• mit Hilfe der Parabelgleichung konkrete Problemstellungen lösen können.

Ausblick Infinitesimalrechnung

• verstehen, dass man zum Bestimmen der Steigung einer krummlinigen Kurve ein anderes Verfahren benötigt als zum Bestimmen der Steigung einer geradlinigen Kurve.
• das Bestimmen von Extremalwerten als eine Anwendung der Differentialrechnung verstehen.
• das Maximum einer Funktion grafisch bestimmen können.
• wissen, was die Ableitung einer Funktion ist.
• die Ableitung einer einfachen Funktion direkt aus der Definition der Ableitung von Hand bestimmen können.
• die Ableitung einer Funktion mit dem Computerprogramm MAPLE bestimmen können.
• verstehen, dass man zum Bestimmen des Flächeninhalts bei einer krummlinig begrenzten Fäche ein anderes Verfahren benötigt als bei einer geradlinig begrenzten Fläche.
• wissen, wie eine krummlinig begrenzte Fläche als Summe von Rechtecksflächen angenähert werden kann.
• wissen, was das bestimmte Integral einer Funktion ist.
• den Zusammenhang zwischen der Integral- und der Differentialrechnung kennen.

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