Mathematik 3, Bauingenieurwesen, FH Graubünden, Thomas Borer, 2025/26

Lernziele

Allgemein

• eine Problemstellung mit exakter und strukturierter Arbeitsweise bearbeiten können.
• eine Problemstellung selbstständig bearbeiten und in einer Gruppe diskutieren können.
• sich aus dem Studium eines schriftlichen Dokumentes neue Kenntnisse und Fähigkeiten erarbeiten können.
• Erkenntnisse in geeigneter Form darstellen und zusammenfassen können.
• Lösungswege vollständig, übersichtlich und verständlich dokumentieren können.
• einen Sachverhalt analysieren und beurteilen können.

Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. und 2. Ordnung

• wissen und verstehen, was eine gewöhnliche Differentialgleichung ist.
• Anwendungen von gewöhnlichen Differentialgleichungen in der Physik kennen.
• wissen und verstehen, was eine explizite und eine implizite gewöhnliche Differentialgleichung ist.
• nachprüfen können, ob eine gegebene Funktion eine Lösung einer gegebenen gewöhnlichen Differentialgleichung ist.
• wissen und verstehen, was eine elementar integrierbare gewöhnliche Differentialgleichung ist.
• die allgemeine Lösung einer elementar integrierbaren gewöhnlichen Differentialgleichung bestimmen können.
• wissen und verstehen, was ein Anfangswert- und ein Randwertproblem ist.
• ein Anfangs- oder Randwertproblem mit einer elementar intergrierbaren gewöhnlichen Differentialgleichung analytisch lösen können.
• wissen und verstehen, was eine statische Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung ist.
• eine statische Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung bestimmen können.

• wissen und verstehen, was das Richtungsfeld einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung ist.
• das Richtungsfeld einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung von Hand skizzieren können.
• das Richtungsfeld einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung mit einem Plotter aus dem Internet darstellen können.
• wissen und verstehen, was stabile, instabile und semistabile statische Lösungen einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung sind.
• die Stabilität einer statischen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung mit Hilfe des Richtungsfeldes beurteilen können.
• mit Hilfe des Richtungsfeldes beurteilen können, ob eine gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung elementar integrierbar ist.
• wissen und verstehen, was eine separierbare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung ist.
• die allgemeine Lösung einer separierbaren gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung mit Hilfe der Methode der Separation der Variablen bestimmen können.
• ein Anfangswertproblem mit einer separierbaren gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung mit Hilfe der Methode der Separation der Variablen lösen können.
• die Herleitung der Differentialgleichung für ein Torricelli-Problem verstehen.
• das Anfangswertproblem für ein konkretes Torricelli-Problem formulieren und lösen können.
• verstehen, inwiefern aus dem Richtungsfeld einer gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung beurteilt werden kann, ob die Differentialgleichung separierbar ist.
• wissen und verstehen, was eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung ist.
• wissen, was eine homogene und inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung ist.
• wissen und verstehen, wie sich die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung aus der allgemeinen Lösung der homogenen und einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zusammensetzt.
• die allgemeine Lösung einer homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung mit Hilfe der Methode der Separation der Variablen bestimmen können.
• die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten bestimmen können.
• eine partikuläre Lösung einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe eines Ansatzes bestimmen können.
• ein Anfangswertproblem mit einer linearen gewöhnlichen Differentialgleichung erster Ordnung von Hand lösen können.

• wissen und verstehen, wie sich die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung beliebiger Ordnung aus der allgemeinen Lösung der homogenen und einer partikulären Lösung der inhomogenen Differentialgleichung zusammensetzt.
• wissen und verstehen, was eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung ist.
• wissen und verstehen, was eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist.
• wissen, was eine homogene und inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung ist.
• wissen und verstehen, dass jedes Vielfache einer Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung eine Lösung der Differentialgleichung ist.
• wissen und verstehen, dass jede Linearkombination zweier Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung eine Lösung der Differentialgleichung ist.
• wissen und verstehen, dass sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil einer komplexen Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung eine reelle Lösung der Differentialgleichung ist.
• wissen, dass die allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung als Linearkombination zweier linear unabhängiger Basislösungen der Differentialgleichung geschrieben werden kann.
• wissen und verstehen, was die zu einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten gehörige charakteristische Gleichung ist.
• die Herleitung der allgemeinen Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für alle drei Fälle für die Lösungen der charakteristischen Gleichung kennen und verstehen.
• die allgemeine Lösung einer homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für alle drei Fälle für die Lösungen der charakteristischen Gleichung bestimmen können.
• ein Anfangswertproblem mit einer homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten von Hand lösen können.
• eine partikuläre Lösung einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten mit Hilfe eines Ansatzes bestimmen können.
• die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten bestimmen können.
• ein Anfangswertproblem mit einer inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten von Hand lösen können.
• die physikalische Herleitung der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine freie ungedämpfte harmonische Schwingung kennen und verstehen.
• die Kreisfrequenz einer freien ungedämpften harmonischen Schwingung aus der entsprechenden gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung herauslesen können.
• die allgemeine Lösung einer eine freie ungedämpfte harmonische Schwingung beschreibenden gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung bestimmen können.
• ein eine freie ungedämpfte harmonische Schwingung beschreibendes Anfangswertproblem lösen können.
• wissen und verstehen, dass die Schwingung eines Pendels nur näherungsweise harmonisch ist.
• die gewöhnliche Differentialgleichung für den Auslenkwinkel bei einem Pendel aufstellen, durch eine gewöhnliche Differentialgleichung für eine freie ungedämpfte harmonische Schwingung annähern und lösen können.
• die physikalische Herleitung der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine freie gedämpfte harmonische Schwingung kennen und verstehen.
• das Verhalten eines gedämpften harmonischen Schwingers in Abhängigkeit der Stärke der Dämpfung kennen und mit Hilfe des mathematischen Modells verstehen.
• wissen und verstehen, was der aperiodische Grenzfall ist.
• das Bewegungsverhalten eines harmonischen Schwingers aufgrund der in der entsprechenden gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung enthaltenen Parameter beurteilen können.
• die Kreisfrequenz einer freien, schwach gedämpften harmonischen Schwingung aus der entsprechenden gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung herauslesen können.
• die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche einen freien gedämpften harmonischen Schwinger beschreibt, bestimmen können.
• ein Anfangswertproblem, welches einen freien gedämpften harmonischen Schwinger beschreibt, lösen können.
• die physikalische Herleitung der gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine erzwungene gedämpfte harmonische Schwingung kennen und verstehen.
• das Verhalten eines harmonisch angeregten gedämpften Schwingers in Abhängigkeit der Amplitude und der Frequenz der harmonischen Anregung kennen und mit Hilfe des mathematischen Modells verstehen.
• das Auftreten eines Einschwingvorganges und einer stationären Phase bei einer harmonisch angeregten Schwingung kennen und mit Hilfe des mathematischen Modells verstehen.
• das Phänomen der Resonanz aus dem mathematischen Modell heraus verstehen.
• die Resonanz-Frequenz bei einer erzwungenen gedämpften harmonischen Schwingung kennen und bestimmen können.
• die allgemeine Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung, welche eine erzwungene gedämpfte harmonische Schwingung beschreibt, bestimmen können.
• ein Anfangswertproblem, welches eine erzwungene gedämpfte harmonische Schwingung beschreibt, lösen können.
• für einfache mechanische Systeme die entsprechende gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung aufstellen und anwenden können.

Funktionen mehrerer Variablen

• wissen und verstehen, was eine Funktion mehrerer Variablen ist.
• wissen und verstehen, dass der Graf einer Funktion von zwei Variablen eine zweidimensionale Fläche ist.
• wissen und verstehen, was die explizite und die implizite Form einer Funktion mehrerer Variablen ist.
• den grösstmöglichen Definitionsbereich einer Funktion mehrerer Variablen bestimmen und skizzieren können.
• wissen und verstehen, was eine Höhen- bzw. Niveaulinie einer Funktion von zwei Variablen ist.
• die Höhen- bzw. Niveaulinien einer einfacheren Funktion von zwei Variablen bestimmen und skizzieren können.
• wissen und verstehen, was eine Höhen- bzw. Niveaufläche einer Funktion von drei Variablen ist.
• die Höhen- bzw. Niveauflächen einer einfacheren Funktion von drei Variablen bestimmen und skizzieren können.
• den Grafen und die Höhen- bzw. Niveaulinien einer Funktion von zwei Variablen mit Python/Numpy plotten können.
• wissen und verstehen, was eine partielle Ableitung erster Ordnung ist.
• alle partiellen Ableitungen erster Ordnung einer Funktion mehrerer Variablen bestimmen können.
• wissen, was der Gradient einer Funktion mehrerer Variablen ist.
• den Gradienten einer Funktion mehrerer Variablen bestimmen können.
• wissen und verstehen, was eine partielle Ableitung höherer Ordnung ist.
• alle partiellen Ableitungen höherer Ordnung einer Funktion mehrerer Variablen bestimmen können.
• wissen, was die Hesse-Matrix einer Funktion mehrerer Variablen ist.
• die Hesse-Matrix einer Funktion mehrerer Variablen bestimmen können.
• den Satz von Steiner kennen und bei der Bestimmung von partiellen Ableitungen höherer Ordnung einer Funktion mehrerer Variablen anwenden können.
• wissen und verstehen, was eine erste Richtungsableitung einer Funktion von zwei Variablen ist.
• eine erste Richtungsableitung einer Funktion von zwei Variablen bestimmen können.
• die Zusammenhänge zwischen der Steigung des Grafen, der Richtung des Gradienten und der Ausrichtung der Niveaulinie an einer bestimmten Stelle bei einer Funktion von zwei Variablen kennen und verstehen.
• wissen und verstehen, was eine zweite Richtungsableitung einer Funktion von zwei Variablen ist.
• eine zweite Richtungsableitung einer Funktion von zwei Variablen mit Hilfe der Hesse-Matrix bestimmen können.
• wissen und verstehen, was ein lokales Maximum, ein lokales Minimum und ein Sattelpunkt einer Funktion von zwei Variablen ist.
• die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für ein lokales Maximum, ein lokales Minimum und ein Sattelpunkt einer Funktion von zwei Variablen kennen.
• alle lokale Maxima, lokale Minima und Sattelpunkte einer Funktion von zwei Variablen bestimmen können.
• wissen und verstehen, was ein globales Maximum und ein globales Minimum einer Funktion von zwei Variablen ist.
• das globale Maximum und das globale Minimum einer Funktion von zwei Variablen auf einem Gebiet bestimmen können.
• wissen und verstehen, was ein Lagrange-Multiplikator ist und wie er bei der Bestimmung von lokalen Extrema einer Funktion von zwei Variablen unter Nebenbedingungen verwendet wird.
• lokale Extrema einer Funktion von zwei Variablen mit Hilfe eines Lagrange-Multiplikators bestimmen können.

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