Geometrie, Technische Berufsmatura, Thomas Borer, HTW Chur, 2001/02

Lernziele

Allgemein

• durch das Studium eines Textes neue Sachverhalte erarbeiten können.
• selbstständig und in Gruppen neue Sachverhalte analysieren können.
• selbstständig und in Gruppen Lösungswege diskutieren können.
• Lösungswege übersichtlich, vollständig und verständlich dokumentieren können.
• einen Sachverhalt mit einer vollständigen Argumentation erklären können.
• Aussagen und Beziehungen in einer Problemstellung als Gleichungen formulieren können.
• ein zur Lösung einer konkreten Problemstellung gehöriges Gleichungssystem aufstellen können.
• für einfachere Konstruktionen einen Konstruktionsplan und eine Konstruktionsskizze erstellen können.

Grundbegriffe

• wissen, dass die Mathematik aus Axiomen, Definitionen und Sätzen aufgebaut ist.
• verstehen, was ein Punkt ist.
• einen Punkt korrekt bezeichnen und in einer Zeichnung markieren können.
• verstehen, was eine Linie, eine gerade Linie, eine krumme Linie, eine gebrochene Linie ist.
• verstehen, was eine Gerade, eine Strecke ist.
• eine Gerade, eine Strecke korrekt bezeichnen können.
• verstehen, was ein Streckenzug, ein offener Streckenzug, ein geschlossener Streckenzug ist.
• verstehen, was eine Fläche, eine Ebene ist.
• verstehen, was ein Winkel ist.
• einen Winkel korrekt bezeichnen können.
• verstehen, was ein Scheitel, ein Winkelschenkel, ein Winkelfeld ist.
• das Gradmass des Winkels kennen.
• wissen, dass es nebst dem Gradmass noch andere Winkelmasse gibt.
• eine Konstruktionsskizze und einen Konstruktionsplan für die Übertragung eines Winkels erstellen können.
• verstehen, was ein spitzer Winkel, ein rechter Winkel, ein stumpfer Winkel, ein Vollwinkel ist.
• verstehen, was ein positiver Winkel, ein negativer Winkel ist.
• verstehen, was ein Höhenwinkel, ein Tiefenwinkel ist.
• verstehen, wie ein Koordinatensystem aufgebaut ist.
• verstehen, was ein kartesisches Koordinatensystem ist.
• die kartesischen Koordinaten eines Punktes in der korrekten Schreibweise angeben können.
• wissen, dass es nebst dem kartesischen Koordinatensystem noch andere Koordinatensysteme gibt.

Vektoren I

• verstehen, was ein Vektor ist.
• den Unterschied zwischen einem Vektor und einem Pfeil verstehen.
• Anwendungen von Vektoren kennen.
• einen Vektor korrekt zeichnen und beschriften können.
• verstehen, wie Vektoren analytisch, d.h. mit Komponenten dargestellt werden.
• wissen, wie die Addition zweier Vektoren definiert ist.
• verstehen, dass die Vektoraddition sowohl das Kommutativ- als auch das Assoziativgesetz erfüllt.
• wissen, was ein Gegenvektor ist.
• wissen, was ein Nullvektor ist.
• wissen, wie die Subtraktion zweier Vektoren definiert ist.
• wissen, wie die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl definiert ist.
• wissen, wie der Betrag eines Vektors definiert ist.
• verstehen, was ein Ortsvektor ist.
• wissen, was ein Einheitsvektor ist.
• Vektoren komponentenfrei addieren, subtrahieren und mit einer reellen Zahl multiplizieren können.
• Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, addieren, subtrahieren, mit Zahlen multiplizieren und deren Betrag bestimmen können.
• verstehen, dass jeder Vektor als Summe von Vielfachen bestimmter Einheitsvektoren dargestellt werden kann.
• die genannten Grundlagen der Vektorgeometrie zur Analyse und Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.

Relationen und Abbildungen

• verstehen, was eine Relation ist.
• eine Relation als Pfeildiagramm darstellen können.
• beurteilen können, ob eine Relation symmetrisch, transitiv, reflexiv ist.
• eine Relation in der Menge der reellen Zahlen in einem kartesischen Koordinatensystem grafisch darstellen können.
• verstehen, was eine Aequivalenzrelation ist.
• verstehen, was eine Abbildung ist.
• die Begriffe "Definitionsbereich", "Bildbereich" verstehen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• eine Abbildung als Pfeildiagramm darstellen können.
• beurteilen können, ob eine gegebene Zuordnung eine Abbildung ist oder nicht.
• den Bildbereich einer gegebenen Abbildung bestimmen können.
• verstehen, was eine Funktion ist.
• die Begriffe "Wertebereich", "Funktionswert" verstehen, d.h. erklären können, wie sie definiert sind bzw. was sie bedeuten.
• eine Funktion als Pfeildiagramm, Wertetabelle, Funktionsvorschrift, Graf darstellen können.
• beurteilen können, ob eine gegebene Zuordnung eine Funktion ist oder nicht.
• Funktionswerte vorgegebener Funktionen bestimmen können.
• wissen, wie eine Drehung, Punktspiegelung, Parallelverschiebung, zentrische Streckung definiert ist.
• die symbolische Bezeichnung einer Drehung, Punktspiegelung, Parallelverschiebung, zentrischen Streckung kennen.
• mit Hilfe eines Konstruktionsplanes und einer dazugehörigen Konstruktionsskizze erklären können, wie man eine vorgegebene Figur durch eine Drehung, Punktspiegelung, Parallelverschiebung, zentrische Streckung in ihre Bildfigur überführt.
• verstehen, was kongurente, ähnliche Abbildungen sind.
• verstehen, was eine Verkettung von Abbildungen ist.
• die symbolische Schreibweise einer Verkettung von Abbildungen kennen.
• verstehen, was eine Streckspiegelung und eine Drehstreckung ist.
• die Begriffe "gleichsinnig", "gegensinnig", "geradentreu", "parallelentreu", "winkeltreu", "verhältnistreu", "längentreu", "flächentreu" kennen und verstehen.
• die Begriffe "identische Abbildung", "Umkehrabbildung", "Fixpunkt", "Fixpunktgerade", "Fixgerade", "Fixkreis" kennen und verstehen.
• beurteilen können, ob eine gegebene Abbildung gleichsinnig, gegensinnig, geraden-, parallelen-, winkel-, verhältnis-, längen- , flächentreu ist.
• die Umkehrabbildung zu einer gegebenen Abbildung angeben können.
• beurteilen können, was eine gegebene Abbildung für Fixpunkte, -punktgeraden, -geraden, -kreise besitzt.

Ortslinien, Dreieck, Viereck, Kreis

• verstehen, was eine Ortslinie ist.
• verstehen, was eine Mittelsenkrechte, eine Winkelhalbierende ist.
• eine Mittelsenkrechte, eine Winkelhalbierende, einen Kreis als Ortslinie verstehen.
• Orstlinien beim Lösen von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• verstehen, was in einem Dreieck ein Innenwinkel, ein Aussenwinkel ist.
• verstehen, was ein spitz-, stumpf-, rechtwinkliges, gleichschenkliges, gleichseitiges Dreieck ist.
• verstehen, was in einem Dreieck eine Höhe, eine Mittelsenkrechte, ein Umkreis, eine Winkelhalbierende, ein Inkreis, eine Seitenhalbierende, eine Schwerlinie, ein Schwerpunkt ist.
• auswendig wissen und verstehen, dass in einem Dreieck die Summe der Innenwinkel 180° beträgt (Innenwinkelsatz).
• auswendig wissen und verstehen, dass in einem Dreieck der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten das Zentrum des Umkreises ist.
• auswendig wissen und verstehen, dass in einem Dreieck der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden das Zentrum des Inkreises ist.
• auswendig wissen und verstehen, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die beiden Basiswinkel gleich gross sind.
• auswendig wissen und verstehen, dass jedes über dem Kreisdurchmesser errichtete Dreieck mit dem dritten Eckpunkt auf der Kreislinie rechtwinklig ist (Satz von Thales).
• auswendig wissen, dass in einem Dreieck der Schwerpunkt die Schwerlinien im Verhältnis 1:2 teilt.
• die vier Kongruenz- und die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke kennen..
• für einfachere Dreieckskonstruktionen eine Angabenskizze, einen Konstruktionsplan und eine Konstruktionsskizze erstellen können.
• wissen, was ein Trapez, Drachenviereck, Parallelogramm, Rhombus, Rechteck, Quadrat ist.
• wissen, was in einem Viereck eine Diagonale, in einem Trapez eine Mittellinie ist.
• die Begriffe "Radius", "Durchmesser", "Sehne", "Sekante", "Tangente", "Kreisbogen", "Kreissektor", "Kreissegment", "konzentrisch", "exzentrisch" kennen und verstehen.
• verstehen und in konkreten Problemstellungen anwenden können, dass die Mittelsenkrechte einer Sehne durch den Kreismittelpunkt geht und die zur Sehne gehörenden Kreisbögen halbiert.
• verstehen und in konkreten Problemstellungen anwenden können, dass eine Tangente immer senkrecht zum Berührradius steht.
• die Begriffe "Zentriwinkel", "Peripheriewinkel", "Sehnen-Tangenten-Winkel", "Ortsbogen" kennen und verstehen.
• verstehen und in konkreten Problemstellungen anwenden können, dass der Zentriwinkel doppelt so gross ist wie der zum gleichen Kreisbogen gehörende Peripheriewinkel.
• verstehen und in konkreten Problemstellungen anwenden können, dass der Sehnen-Tangenten-Winkel gleich gross ist wie der Peripheriewinkel.

Längen, Flächen, Volumina

• die drei Strahlensätze kennen.
• verstehen, dass die drei Strahlensätze aus den Aehnlichkeitssätzen hergeleitet werden können.
• die Strahlensätze in konkreten Problemstellungen anwenden können.
• verstehen, was ein Flächenmass ist.
• verstehen, dass der Flächeninhalt einer ebenen Figur das Produkt einer Masszahl und eines Flächenmasses ist.
• den Flächeninhalt eines Quadrates, Rechteckes, Parallelogrammes, Trapezes, Dreiecks bestimmen können.
• verstehen, dass jedes Vieleck in lauter Dreiecke zerlegt werden kann.
• die drei Flächensätze am Kreis (Kathetensatz, Satz von Pythagoras, Höhensatz) kennen und in konkreten Problemstellungen anwenden können.
• verstehen, dass der Satz von Pythagoras und der Höhensatz aus dem Kathetensatz folgen.
• verstehen, wie ein Kreis mit einer Folge von regelmässigen Vielecken angenähert werden kann.
• die Begriffe "drehsymmetrisch" und "Bestimmungsdreieck" kennen und verstehen.
• den Kreisumfang als Grenzwert von Umfängen regelmässiger Vielecke verstehen.
• den Inhalt der Kreisfläche als Grenzwert von Flächeninhalten regelmässiger Vielecke verstehen.
• die Zahl Pi als Grenzwert von Quotienten aus Umfang regelmässiger Vielecke und Kreisdurchmesser verstehen.
• die Formeln zur Berechnung des Umfangs und des Flächeninhaltes des Kreises auswendig kennen.
• den Flächeninhalt und den Umfang eines Kreises, Kreissektors, -segmentes berechnen können.
• verstehen, was ein Volumenmass ist.
• verstehen, dass der Volumeninhalt eines Körpers das Produkt einer Masszahl und eines Volumenmasses ist.
• den Satz von Cavalieri kennen.
• den Volumeninhalt eines Quaders, eines Prismas, eines Zylinders, einer Pyramide, eines Kegels bestimmen können.
• die Formeln zur Berechnung des Volumeninhalts und des Oberflächeninhalts der Kugel auswendig kennen.
• stereometrische Problemstellungen lösen können.

Trigonometrie

• verstehen, wie die trigonometrischen Grundfunktionen sin, cos, tan, cot definiert sind.
• Eigenschaften der trigonometrischen Grundfunktionen aus deren Definition am Einheitskreis herleiten können.
• die Grafen der trigonometrischen Grundfunktionen auswendig kennen.
• verstehen, was das Bogenmass eines Winkels ist.
• Winkel vom Gradmass ins Bogenmass und umgekehrt umrechnen können.
• verstehen, dass die trigonometrischen Funktionen transzendente Funktionen sind.
• verstehen, wie im Taschenrechner Funktionswerte von trigonometrischen Funktionen berechnet werden.
• alle zu einem bestimmten Sinus-, Cosinus-, Tangens-, Cotangens-Wert gehörigen Winkel mit Hilfe des Taschenrechners bestimmen können.
• die Zusammenhänge zwischen Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck kennen, verstehen und in konkreten Problemstellungen anwenden können.
• den Sinus- und den Cosinus-Satz kennen.
• die Herleitungen des Sinus- und des Cosinus-Satzes verstehen.
• den Zusammenhang zwischen dem Cosinus-Satz und dem Satz von Pythagoras verstehen.
• den Sinus- und den Cosinus-Satz bei Dreiecksberechnungen anwenden können.
• einen groben Ueberblick über die Additionstheoreme haben.
• die Additionstheoreme bei der Umformung trigonometrischer Terme anwenden können.
• verstehen, was eine goniometrische Gleichung ist.
• einfachere goniometrische Gleichungen von Hand lösen können.

Vektoren II

• wissen, wie das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert ist.
• den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und einer Projektion verstehen.
• die Rechengesetze des Skalarproduktes kennen, verstehen und anwenden können.
• das Skalarprodukt zweier Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, bestimmen können.
• das Skalarprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.
• wissen, wie das Vektorprodukt zweier Vektoren definiert ist.
• die Rechengesetze des Vektorproduktes kennen, verstehen und anwenden können.
• das Vektorprodukt zweier Vektoren, die durch ihre Komponenten gegeben sind, bestimmen können.
• das Vektorprodukt zur Lösung von konkreten Problemstellungen anwenden können.

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